新课标人教A版高中数学必修一第三章单元小结（一） 教案
展开第三章 单元小结（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.
（四）教学过程
教学环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
回顾反思构建体系 | 1．函数与方程单元知识网络
2．知识梳理 ①二次函数的零点与一元二次方程根的关系 对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)，当f (x) = 0时，就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0，因此，二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根；也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根. ②函数的零点的理解 （1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零. (2)根据函数零点定义可知，函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x) = 0是否有实根，有几个实根. ③函数零点的判定 判断一个函数是否有零点，首先看函数f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y = f (x)在区间（a，b）内必有零点. ④用二分法求方程的近似解要注意以下问题： （1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束. （2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大. （3）在二分法的第四步，由|a – b|＜，便可判断零点近似值为a或b. ⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点： （1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根； （2）求曲线y = f (x)和y = g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f (x) – g (x)的零点，即求方程f (x) – g (x) = 0的实数解. | 1．师生合作，绘制单元知识网络图 2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理. | 整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
经典例题剖析 |
例1 利用计算器，求方程2x + 2x – 5 = 0的近似解. (精确到0.1)
例2 确定函数f (x) =+ x – 4 的零点个数.
例3（1）试说明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01） （2）探究方程2x3 – 6x2 +5 = 0，方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和，你由此可以得到什么结论？
| 1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结. 例1【解析】设f (x) = 2x + 2x – 5，由于函数在R上是增函数，所以函数f (x)在R上至多一个零点. ∵f (1) = –1＜0，f (2) = 3＞0， ∴f (1) f (2)＜0， ∴函数f (x) = 2x + 2x – 5在(1, 2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：
∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1， ∴函数f (x)的零点近似值为1.3125. ∴方程2x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125. 例2【解析】设，则f (x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图. 由图知，y1与y2在区间(0, 1)内有一个交点， 当x = 4时，y1 = –2，y2 = 0， 当x = 8时，y1 = –3，y2 = – 4， ∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点，又和y2 = x – 4均为单调函数. ∴两曲线只有两个交点， 即函数有两个零点. 例3【解析】（1）设函数 f (x) =2x3 – 6x2 +3， ∵f (–1) = –5＜0，f (0) = 3＞0，f (1) = –1＜0， f (2) = –5＜0，f (3) = 3＞0，函数y = f (x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解． 首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
由上表计算可知，区间[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64，所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1，0]上的一个近似解． 同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3． （2）利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3． 由于3只与未知数的系数比相等，即 – (– 6÷2) = 3，所以猜想： 一般地，对于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三个根xl，x2，x3，则和为x1 +x2 +x3 =． | 动手尝试练习提升综合应用知识的能力. |
备选例题
例1 求函数y = x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象.
【解析】因为x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
，[–1，1]，[1，2]，.
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：
x | … | –1.5 | –1 | –0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | … |
y | … | – 4.38 | 0 | 1.88 | 2 | 1.13 | 0 | –0.63 | 0 | 2.63 | … |
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
例2 求函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.
【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标 | 计算中点的函数值 | 取区间 | |an – bn| |
|
| [1，2] | 1 |
x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 | f(x0)=0.625＞0 | [1，1.5] | 0.5 |
x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 | f(x1)= –0.984＜0 | [1.25，1.5] | 0.25 |
x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 | f(x2)= –0.260＜0 | [1.375，1.5] | 0.125 |
x3=(1.375+1.5)/2=1.438 |
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由上表的计算可知，区间[1.375，1.5 ]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.
