人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线练习题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共14小题）
1. 抛物线 y=−18x2 的准线方程是
A. x=132B. y=2C. y=132D. y=−2

2. 已知 A0,1 和直线 l:x=−5，抛物线 y2=4x 上动点 P 到 l 的距离为 d，则 ∣PA∣+d 的最小值是
A. 6B. 5+2C. 4+2D. 42

3. 顶点在原点，准线方程为 x=−2 的抛物线方程为
A. y=2x2B. y2=2xC. y2=8xD. y2=4x

4. 抛物线 y2=4x 上一点 M 的横坐标为 1，则点 M 到抛物线焦点的距离为
A. 3B. 1C. 2D. 0

5. 顶点为原点，焦点为 F0,−1 的抛物线方程为
A. y2=−2xB. y2=−4xC. x2=−2yD. x2=−4y

6. 抛物线 y=16x2 的准线方程为
A. x=124B. y=−124C. x=32D. y=−32

7. 已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，那么点 P 到 y 轴的距离是
A. 2B. 3C. 4D. 5

8. 已知抛物线 y2=16x 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 M，N 两点，则 NF9−4MF 的最小值为
A. 23B. −23C. −13D. 13

9. 已知F是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
A. 34B. 1C. 54D. 74

10. 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=2x 上移动，M 为线段 AB 的中点，则 M 点到 y 轴的最短距离为
A. 12B. 1C. 32D. 2

11. 抛物线 y2=2px 与直线 2x+y+a=0 交于 A，B 两点，其中 A1,2，设抛物线焦点为 F，则 FA+FB 的值为
A. 35B. 5C. 6D. 7

12. 设点 A 的坐标为 1,15，点 P 在抛物线 y2=8x 上移动，P 到直线 x=−1 的距离为 d，则 d+∣PA∣ 的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

13. 已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，P 是抛物线 C 的准线上的一点，且 P 的纵坐标为正数，Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点．若 ∣PQ∣=2∣QF∣，则直线 PF 的方程为
A. x−y−2=0B. x+y−2=0C. x−y+2=0D. x+y+2=0

14. 已知双曲线 x2−y2m=1 与抛物线 y2=8x 的一个交点为 P，F 为抛物线的焦点，若 PF=5，则双曲线的渐近线方程为
A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 3x±y=0D. x±3y=0

二、填空题（共5小题）
15. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x=−2，则抛物线的方程是 ．

16. 已知 F 为抛物线 y2=2pxp>0 的焦点，以 F 为顶点作一个两条对角线长分别为 23 和 2 的菱形 PFRQ （ PR>FQ ） ，如图所示．若抛物线经过 P，R 两个顶点，则抛物线的方程为 ．

17. 已知点 P 是抛物线 x2=4y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是 Q，若点 A8,7，∣PA∣+∣PQ∣ 的最小值为 ．

18. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，A，B 为此抛物线上的异于坐标原点 O 的两个不同的点，满足 FA+FB+FO=12，且 FA+FB+FO=0，则 p= ．

19. 已知以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点，若 ∣AB∣=42，∣DE∣=25，则 C 的焦点到准线的距离为 ．

三、解答题（共5小题）
20. 抛物线的离心率能否变化?对抛物线形状有影响吗?

21. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米．
（1）以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy（如图），求该抛物线的方程．
（2）若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米?

22. 如图，一座圆拱桥，当水面在 m 位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽 12 米．当水面下降 1 米后水面宽多少米?

23. 对于抛物线 y2=2x 上任意一点 Q，点 Pa,0 都满足 ∣PQ∣≥∣a∣，试求 a 的取值范围．

24. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 ∣QF∣=54∣PQ∣，求 C 的方程．
答案
1. B
【解析】因为 y=18x2，
所以 x2=−8y，
所以其准线方程是 y=2．
2. C
【解析】抛物线准线为 x=−1，P 到其距离为 d1，则 d=d1+4，
所以 ∣PA∣+d=4+d1+∣PA∣=4+∣PF∣+∣PA∣≥4+∣FA∣=4+2．
3. C
4. C
5. D
6. D
【解析】将已知抛物线的方程化为 x2=6y，焦点在 y 轴正半轴上，且 p2=142p=14×6=32，所以抛物线的准线方程为 y=−32．
7. C
【解析】抛物线 y2=4x，则准线方程为 x=−1，
因为 P 到其焦点的距离为 5，则到其准线的距离也为 5，
所以 P 点到 y 轴的距离为 4．
8. D
【解析】设 NF=x，MF=y，
由抛物线过焦点的弦性质，1MF+1NF=2p，
所以 1x+1y=28=14⇒1y=14−1x，而
NF9−4MF=x9−4y=x9−414−1x=x9−1+4x≥249−1=13.
9. C
【解析】由抛物线的标准方程可知 p=12．
假设点 A 到准线的距离为 d1，点 B 到准线的距离为 d2，则 d1+d2=3．
所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 32−p2=54．
10. B
【解析】如图所示，抛物线 y2=2x 的准线为 l:x=−12，过 A，B，M 分别作 AAʹ，BBʹ，MMʹ 垂直于 l，垂足分别为 Aʹ，Bʹ，Mʹ．
由抛物线定义知 ∣AAʹ∣=∣FA∣，∣BBʹ∣=∣FB∣．
又 M 为 AB 中点，
由梯形中位线定理得 ∣MMʹ∣=12∣AAʹ∣+∣BBʹ∣=12∣FA∣+∣FB∣≥12∣AB∣=12×3=32，
则 M 到 y 轴的距离 d≥32−12=1（当且仅当 AB 过抛物线的焦点时取“=”），
所以 dmin=1，即 M 点到 y 轴的最短距离为 1．
11. D
【解析】把 A 点坐标分别代入抛物线方程和直线方程可以求出 p=2，a=−4．
联立抛物线和直线的方程，可以解出 B 点的坐标为 4,−4．
所以 FA+FB=7 .
12. C
【解析】点 P 到准线 x=−2 的距离为 d+1，设点 F 为抛物线的焦点，则 ∣PF∣=d+1，所以 d+∣PA∣=∣PF∣−1+∣PA∣，当 A，P，F 三点共线时，∣PF∣+∣PA∣ 取得最小值，故 d+∣PA∣ 的最小值为 ∣AF∣−1=4−1=3．故选C．
13. B
【解析】如图，设准线与 x 轴的交点为 M，过点 Q 作 QH⊥PM 于 H．
因为 ∣PQ∣=2∣QF∣，由抛物线的定义得 ∣PQ∣=2∣QH∣，
所以在 Rt△PQH 中，∠PQH=π4，
所以 ∠PFM=π4，
所以直线 PF 的斜率 k=−1，
则直线 PF 的方程为 y−0=−1x−2，即 x+y−2=0，
故选B．
14. C
【解析】因为点 P 在抛物线 y2=8x 上，PF=5，
所以 Px0,y0 满足 x0+p2=5，得 x0=5−p2=5−2=3，
因此 y02=8x0=24，得 y0=±26，
所以点 P3,±26 在双曲线 x2−y2m=1 上，
可得 9−24m=1，解之得 m=3，
所以双曲线标准方程为 x2−y23=1，
得 a=1，b=3，渐近线方程为 y=±bxa，即 y=±3x．
15. y2=8x
16. y2=2x
【解析】由已知条件知 FQ=2，PR=23，所以 PF=2，且点 P 的横坐标为 p2+1，根据抛物线的定义知 PF=xp+p2=p2+1+p2=p+1，则由 p+1=2，得 p=1，所以抛物线的方程为 y2=2x．
17. 9
18. 4
19. 4
20. 抛物线的离心率是固定不变的，抛物线的离心率 e=1，但抛物线的形状不同，如 y2=x 与 y2=2x．
21. （1） 如图所示．
根据题意可设该抛物线的方程为 x2=−2pyp>0．
因为点 C5,−5 在抛物线上，
所以该抛物线的方程为 x2=−5y．
（2） 设车辆高为 ℎ 米，则 ∣DB∣=ℎ+0.5，
故 D3.5,ℎ−6.5，代入方程 x2=−5y，解得 ℎ=4.05，
所以通过隧道的车辆限制高度为 4.05 米．
22. 以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系，
设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A，B，则由已知可得：A6,−2，
设圆的半径为 r，则 C0,−r，即圆的方程为 x2+y+r2=r2，
将 A 的坐标代入圆的方程可得 r=10，
所以圆的方程是：x2+y+102=100，
则当水面下降 1 米后可设 Aʹ 的坐标为 x0,−3（x0>0），
代入圆的方程可得 x0=51，
所以当水面下降 1 米后，水面宽为 251 米．
23. 对于抛物线 y2=2x 上任意一点 Q，点 Pa,0 都满足 ∣PQ∣≥∣a∣．
（1）若 a≤0，显然适合．
（2）若 a>0，点 Pa,0 都满足 ∣PQ∣≥∣a∣ 就是 a2≤a−y222+y2，即 a≤y24+1≤1，00，
可得 x0=8p，
由 P0,4，得 ∣PQ∣=8p，
又 ∣QF∣=x0+p2=8p+p2，∣QF∣=54∣PQ∣，
所以 8p+p2=54⋅8p，解得 p=2 或 p=−2（舍去）．
故 C 的方程为 y2=4x．