精品解析：广东省深圳市光明区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

2021—2022学年下学期期末学业水平调研检测

八年级数学

第一部分    选择题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）

1. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面以数学家名字命名的图形中，是中心对称图形的是（    ）

A. 谢尔宾斯基三角形 B. 科克曲线     C. 赵爽弦图 D. 毕达哥拉斯树

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．

【详解】A. 谢尔宾斯基三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B. 科克曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C. 赵爽弦图是中心对称图形，符合题意；

D. 毕达哥拉斯树既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，即把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，熟练掌握知识点是解题的关键．

2. 分式有意义的条件是（    ）

A.  B.  C.  D. x为任意实数

【答案】A

【解析】

【分析】由分式有意义，可列不等式再解不等式即可得到答案．

【详解】解：∵分式有意义，

∴

解得：

故选A

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为0”是解本题的关键．

3. 五边形的内角和是(   )

A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°

【答案】C

【解析】

【分析】根据n边形的内角和为：，且n为整数，求出五边形的内角和是多少度即可．

【详解】解：五边形的内角和是：

(5﹣2)×180°

＝3×180°

＝540°

故选C．

【点睛】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：，且n为整数．

4. 多项式中各项的公因式是（    ）

A ab B. 4ab C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据公因式的概念，找出多项式各项的公因式即可．

【详解】解：多项式中各项的公因式是4ab，

故选：B．

【点睛】此题考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式，熟练掌握知识点是解题的关键．

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，求出不等式的解集即可．

【详解】∵

∴x>-1

在数轴上表示D选项是正确的；

故选：D

【点睛】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“>、<”在数轴上是空心小圆圈，“≥、≤”在数轴上是实心小圆点．

6. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据因式分解定义以及其所遵循的原则逐项判断即可．

【详解】A项，右边不是积的形式，故不是因式分解；

B项，右边不是积的形式，故不是因式分解；

C项，等式两边不相等，故不是因式分解；

D项，运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解；

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等．

7. 下列说法正确的是（    ）

A. 四边形的外角和是360°

B. 如果，那么

C. 点关于原点对称的点的坐标是

D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

【答案】A

【解析】

【分析】根据选项给出的命题，判断正误即可．

【详解】A． 四边形的外角和是360°——故A选项正确；

B． 如果，那么——根据不等式额性质，不等号两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等号两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；故B选项错误．

C． 点关于原点对称点的坐标是——关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，则点关于原点对称的点的坐标是；故C选项错误．

D． 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故D选项错误．

故选：A

【点睛】本题主要考查了判断各个命题的正确性，熟练地掌握各个定理和真命题地内容是解题的关键．

8. 直线与在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数图像，找到两直线函数图像的交点坐标的横坐标即可．

【详解】由图可知，两直线的函数图像交于（-1，-3）

∵

∴选取交点右边的部分

则x>-1时，

故选：A

【点睛】本题主要考查了根据一次函数的图像求解不等式的解集，熟练的掌握一次函数的图像和性质，会找函数图像的交点坐标是解题的关键．

9. 如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．

【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，

∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，

∴∠AOP=∠POB=15°，

∵OD=DP=2，

∴∠OPD=∠POB=15°，

∴∠PDE=30°，

∴PE=PD=1，

∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，

∴PC=PE=1，

故选：C．

【点睛】此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．

10. 如图，AC是□ABCD的对角线，将□ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】B

【解析】

【分析】①AC是对角线，A点沿EF对折后与C点重合，则点O为平行四边形ABCD对角线的交点，经过平行四边形对角线交点的直线被平行四边形的一组对边截成两条相等的线段，故0E=OF，用SAS证明△AOE≌△COF即可；②点A和点C关于EF成轴对称，故EF垂直平分AC，AE=CE；③EF⊥AC，可得△COF是直角三角形，G为CF的中点，直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半，则；④不能判断BE和AB的关系，故不能够得到三角形和四边形的面积关系．

【详解】①∵A点沿EF对折后与C点重合

∴EF垂直平分AC(对称轴垂直平分对应点的连线)

∴AO=CO

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠CFO=∠AEO

∵AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∠CFO=∠AEO

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF

∴AB-AE=CD-CF即DF=BE，故①正确

②∵EF垂直平分AC

∴AE=CE(垂直平分线上的点到两边距离相等)

∴∠CAE=∠ACE，

∵AB∥CD，

∴∠CAD=∠CAE，

∴

③∵EF⊥AC

∴△COF是直角三角形

∵G为CF的中点

∴，故③正确

④△CBE和四边形ABCD等高，但得不到它们的底BE和AB的数量关系，故④不正确．

①②③正确，④不正确

故选：B

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和折叠问题，通过折叠能过得到轴对称图形，对称轴垂直平分对应点的连线，平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分．熟练地掌握平行四边形和折叠的性质是解题的关键．

第二部分    非选择题

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解：__________．

【答案】

【解析】

【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；

【详解】解：，

故答案为：；

【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．

12. 分式方程的增根为______．

【答案】2

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解，即增根．

【详解】解：去分母得：1-x=-1-2x+4，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解,

故答案为：2．

【点睛】此题考查了分式方程有增根的情况，利用了转化的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．

13. 如果将点A（-3，-1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到点B，那么点B的坐标是________．

【答案】（-1，-4）

【解析】

【分析】利用横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．

【详解】解：将点A（-3，-1）向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度得到点B（-3+2，-1-3）

即（-1，-4），

故答案为：（-1，-4）．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握平移变换与坐标变化规律．

14. 如图，在△ABC中，，，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE的周长为______．

【答案】16

【解析】

【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，通过观察图形可知周长等于，再根据已知条件代入数据计算即可得解．

【详解】∵是的垂直平分线，

∴，

∵，，

∴的周长，

故答案是：．

【点睛】本题涉及到的知识点主要是线段垂直平分线的性质，能够灵活运用知识点将求三角形周长的问题进行转化是解题的关键．

15. 如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】先证四边形BCOM是菱形，可得OB⊥CM，，当点E与点H重合时，EF有最小值，即可求解．

【详解】解：如图，设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴DO＝CO，EO＝FO，

∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝5，

∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，

∴CO=DO=5，

∵点M是AB的中点，

∴AM＝BM＝5，

∴OC＝BM＝5，

∴四边形BCOM是平行四边形，

∵OC＝BC＝5，

∴四边形BCOM是菱形，

∴OB⊥CM，，

∴，

∵，

∴当点E与点H重合时，OE有最小值，即EF有最小值，

∴EF的最小值为：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形BCOM是菱形是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 解不等式组．

【答案】x＞1

【解析】

【分析】分别求出各个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可求解．

【详解】解：，

由①得：x+1＞2，即：x＞1，

由②得：-2x＜8，即：x＞-4，

∴不等式组的解集为：x＞1．

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．

17. 解分式方程．

【答案】

【解析】

【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可求解．

【详解】解：

方程两边同时乘以（x-4）,得3-x=x-4+1，

解得 ，                   

检验：当x=3时，，

∴原分式方程的解．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意解分式方式中检验是必备步骤，不能省略．

18. 先化简，再求值：，其中.

【答案】，

【解析】

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

【详解】原式

．

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19. 如图，D是△ABC的边BC的中点，，，垂足分别是E、F，且．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）若，，求△ABC的面积．

【答案】（1）见解析    （2）48

【解析】

【分析】（1）由题意得△BDF和△CDE是直角三角形，用HL定理即可证明出三角形全等．

（2）连接AD，等腰三角形三线合一，则AD是△ABC底边BC上的高．用勾股定理即可求出．再将底和高代入三角形的面积公式即可．

【小问1详解】

证明：∵，   

∴△BDF和△CDE是直角三角形   

∵D为BC的中点

∴       

又∵，

∴

∴

∴△ABC是等腰三角形．

【小问2详解】

解：连接AD．

∵D为BC的中点   

∴   

∵AD是等腰的中线

∴．

在中，由勾股定理得：

∴

【点睛】本题主要考查了三角形的全等以及等腰三角形的判定和性质，熟练地掌握等腰三角形“等角对等边”、“三线合一”等内容是解题地关键．

20. 北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪融融受到大家的喜爱．某冬奥商品授权经销店欲购进这两种纪念品，已知每件冰墩墩的进价比雪融融的进价贵10元，用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪融融的数量相同．

（1）求冰墩墩和雪融融每件的进价分别为多少元？

（2）若该商店冰墩墩纪念品每件售价65元，雪融融纪念品每件售价50元，这两种纪念品共购进200件，全部售出后总获利不低于2400元，求雪融融纪念品最多购进多少件？

【答案】（1）雪融融每件的进价为40元，冰墩墩每件的进价为50元   

（2）雪融融最多购进120件

【解析】

【分析】（1）设雪融融每件的进价为x元，则冰墩墩每件的进价为元，再由用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪融融的数量相同列方程，再解方程即可；

（2）设雪融融购进a件，则冰墩墩购进件，由总获利不低于2400元，再列不等式，再解不等式即可．

【小问1详解】

解：设雪融融每件的进价为x元，则冰墩墩每件的进价为元．

根据题意得：，解得：，

经检验，是原分式方程的解，且符合题意，

则．

答：雪融融每件的进价为40元，冰墩墩每件的进价为50元．

【小问2详解】

设雪融融购进a件，则冰墩墩购进件，

根据题意得：，

解得：．

答：雪融融最多购进120件．

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．

21. 如图1，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）P为线段AB上一个动点，若，求此时点P的坐标；

（3）点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．

【答案】（1）   

（2）   

（3），

【解析】

【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（2）先求出三角形ABC的面积，根据三角形面积公式列出方程，求解即可；

（3）设，分别表示出M、N的坐标，根据平行四边形的性质得到M N= BD，列出方程求出x，即可求解．

【小问1详解】

直线中，令，得，

∴，

设AB的函数表达式为，

将点、B代入函数表达式得：，

解得：，，

∴直线AB的解析式为：；

【小问2详解】

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，即，

，即，

解得，

∴；

【小问3详解】

设，

∵轴，

∴，

∴

∴，

当时，B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

∵，D为OB的中点，

∴，即，得，

，．

【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，将一次函数图象上点的坐标与平行四边形的性质结合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式及平行四边形的性质．

22. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．

（1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．

（2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．

（3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．

【答案】（1） ，   

（2）成立，理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）通过证明，即可求证；

（2）通过证明，即可求证；

（3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．

【小问1详解】

，，证明如下：

在和中，

，，，

，

，

，

，

，

，

；

【小问2详解】

成立，理由如下：

∵，

∴，即，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

【小问3详解】

如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，

由旋转性质可得：，，

∵，

∴，

∵，且，

∴，   

∴，

∴，

在中：，

∵，

∴，即，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴， 

∴，

∴，

∴是直角三角形，

在中，．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．