精品解析：广东省深圳市福田区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

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2022 年初二年级期中质量检测
数学（5月）
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为1－10题，共30分，第II卷为11－22题，共70分．全卷共计100分．考试时间为90分钟．
注意事项：
1. 答题前，请将学校、姓名，班级，考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置．
2. 选择题答案，用2B铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域．
3. 考试结束，监考人员将答题卡收回．
第I卷（本卷共计30分）
一．选择题（每小题3分，共10小题，总计30分）
1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。
【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。

2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可．
【详解】解：A．若，不等式两边同时乘以得，，故此选项错误，不符合题意；
B．若，不等式两边同时减去2得，，故此选项正确，符合题意；
C．若，当时，，故此选项错误，不符合题意；
D．若，不等式两边同时除以2得，，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
3. 如图，数轴上表示的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察数轴即可得到解答．
【详解】解：由图可得，且
在数轴上表示的解集是，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是仔细观察数轴进行分析即可．
4. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方差公式逐项分解因式可求解．
【详解】解：A、，无法因式分解，故此选项错误；
B、，无法因式分解，故此选项错误；
C、，无法因式分解，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的基本形式是解题关键．
5. 如图，是等边三角形，点D在边上，，则的度数为（ ）

A. B. C. D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形性质可得，结合三角形内外角关系即可得到答案；
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查三角形内外角关系及等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻两个内角和．
6. 已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　）
A. ﹣6 B. 6 C. ﹣5 D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【详解】解: xy＝﹣3，x+y＝2,
x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.
故答案：A
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）

A. x＞3 B. x＜3 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象，两直线的交点坐标是（－1，3），在交点的左侧，据此解题．
【详解】解：当x＜－1时，，
所以不等式的解集为x＜﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查两条直线的交点求不等式的解集，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 因“新型冠状肺炎”疫情防控的需要，某校准备用2000元采购一批医用口罩，经市场调研，一个医用口罩的价格为1元，一次购买100个以上的医用口罩，超过部分按九折销售，设学校一次性购买个医用口罩，据此可列不等式为（ ）
A. 100＋0.9＜200 B. 100＋0.9x≤2000
C. 100＋0.9（x－100）2000 D. 100＋0.9（x－100）≤2000
【答案】D
【解析】
【分析】根据购买口罩的总价钱不超过2000元列出不等式即可．
【详解】解：设学校一次性购买x个医用口罩，
由题意可得：
100＋0.9（x-100）≤2000，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到不等关系．
9. 如图，将绕点A逆时针旋转80°，得到，若点D在线段BC的延长线上，则的度数为（ ）

A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，，，得，则，即可得．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转80°，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．
10. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与的距离为；②③．其中正确的结论是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可．
【详解】解：连结，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
等边三角形，
，
所以正确；

为等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
≌，
，
在中，
，，，
，
，
为等边三角形，
，
，
所以正确；
≌，
，





，
所以正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键．
第II卷（本卷共计70分）
二、填空题（每小题3分，共5小题，总计15分）
11. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【详解】解：如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如果a＞b，则a2＞b2，
假设a=1，b=-2，
此时a＞b，但a2＜b2，
即此命题为假命题．
故答案为：假．
12. 点A(5，-3)向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是____________．
【答案】（2，-5）
【解析】
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是（5-3，-3-2），进而得到答案．
【详解】解：点（5，-3）向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是（5-3，-3-2），
即：（2，-5），
故答案为：（2，-5）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13. 如图，将三角形ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到三角形DCE，连接AE，若三角形ABC的面积为2，则三角形ACE的面积为___________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据平移性质可得CE=BC，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案．
【详解】解：∵将三角形ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到三角形DCE，
∴CE=BC，
∵△ABC底边BC上的高和△ACE底边CE上的高相等，
∴△CEF的面积等于△ABC的面积，
∵△ABC的面积为2，
∴△CEF的面积为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查平移性质、三角形的面积，熟练掌握平移的性质，熟知两个三角形的高相等时，面积和底成正比是解答的关键．
14. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ___．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】把给出的式子两边加上，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
∴，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，配方法的应用是解题关键．
15. 平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为_____．
【答案】（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）
【解析】
【分析】设P（m，n）．利用三角形的面积公式求出n的值，再分两种情形构建方程即可解决问题
【详解】解：设P（m，n）．

∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∵S△POA＝10，
∴×5×n＝10，
∴n＝4，
当OP＝OA＝5时，m2+42＝52，
∴m＝±3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴P（﹣3，4），
当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52，
∴m＝﹣2或﹣8，
∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）．
故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（第16题6分，第17、18题8分，第19题6分，20题8分，21题9分，22题10分，共7题．总55分）
16. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
【小问1详解】
解：2m2﹣18

．
【小问2详解】
解：
＝

．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，要先提公因式，再利用其他方法分解因式，分解要彻底，直到不能分解为止．
17. （1）解不等式；
（2）解不等式组，并把解集数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析．
【解析】
【分析】（1）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，即可得答案；
（2）分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，再找出两个解集的公共解集即可得答案．
【详解】解：（1）1，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得．
（2），
解：由不等式①得：，
解得：，
由不等式②得：，
解得：，
这两个不等式的解集在数轴上表示如下：

∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，．

（1），求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）cm
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线性质得到等腰三角形从而得到底角相等，结合三角形内角和定理及内外角关系即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出，得到再根据勾股定理即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
在中，，
；
【点睛】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，解题的关键是根据垂直平分线得到边相等角相等．
19. 如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)
（1）请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1；
（2）请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(2，0)
【解析】
【分析】（1）把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)
然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：
（2）连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；
（3）找出B的关于x轴对称点B′（4，﹣2），连接AB′，与x轴交点即为P；求AB′解析式为，当y=0时，点P坐标为（2，0）．
【详解】解：（1）∵ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，
把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)，
然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：

（2）如图2所示：连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；

（3）找出B的对称点B′（4，﹣2），
连接AB′，与x轴交点即为P；
设AB′解析式为代入点的坐标得，
，
解得，
∴AB′解析式为，
当y=0时，，
解得
点P坐标为（2，0）．
如图3所示：

【点睛】本题考查平移的性质，中心对称性质，轴对称性质，掌握平移的性质，中心对称性质，轴对称性质是解题关键．
20. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题；
（2）根据平行线性质和含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）平分，， ，
，；
在和中，
，
，
；
（2）平分，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
21. 某商店决定购进A，B两种纪含品，已知购进A种纪念品1件，B种纪念品2件，需要20元；购进A种纪念品4件，B种纪念品1件，需要45元．
（1）每件A种纪念品的进价为___元，每件B种纪念品的进价为___；
（2）若商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有几种进货方案？
（3）已知一件A种纪念品可获利5元，一件B种纪念品可获利3元，若纪念品能全部卖出，试问在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案可获利最多，最多为多少？
【答案】（1）10；5
（2）该商店共有3种进货方案，方案1：购进A种纪念品50件，种纪念品50件；方案2：购进A种纪念品51件，种纪念品49件；方案3：购进A种纪念品52件，种纪念品48件
（3）商店进52件A产品，48件B产品可获利最多，最多为404元
【解析】
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可分别求出采用各方案可获得的总利润，再比较后即可得出结论．
【小问1详解】
设购进A种纪念品每件需元，购进种纪念品每件需元，
依题意得：，
解得：，
即购进A种纪念品每件需10元，购进种纪念品每件需5元，
故答案为：10，5；
【小问2详解】
设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，
依题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m可以为50，51，52，
答：该商店共有3种进货方案，
方案1：购进A种纪念品50件，种纪念品50件；
方案2：购进A种纪念品51件，种纪念品49件；
方案3：购进A种纪念品52件，种纪念品48件；
【小问3详解】
当时，获得的利润为（元）；
当时，获得的利润为（元）；
当时，获得的利润为（元）．
∵，
答：商店进52件A产品，48件B产品可获利最多，最多为404元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，求出采用各方案获得的总利润．
22. 解答下列问题．
（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点A坐标为，的坐标为，则点坐标为 ．

（2）问题探究：如图，平面直角坐标系中，已知，，若，点在第一象限，且，试求出点坐标．

（3）问题解决：如图，直线分别于轴轴交于点、点，，的顶点，分别在线段，上，且，，试求出的面积．

【答案】（1）
（2）点的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）过点B作轴，根据题意得出，结合全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可得出点的坐标；
（2）过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，利用（1）中方法得出，结合图形确定线段长度即可得出点的坐标；
（3）过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，同理得出，，，设点的坐标为，根据一次函数的性质得出点，结合图形利用求解即可．
【小问1详解】
解：过点B作轴，如图所示：

∴，
∴，
∵点A坐标为，的坐标为，
∴,
∵等腰直角三角板，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，

同理，
，，，
点的横坐标为：，
点的纵坐标为：，
故点的坐标为；
【小问3详解】
过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，

同理，
，，设点的坐标为，
即：，则：，
解得：，则点，
∴，
∴，
∴，


．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形等，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．