2021-2022学年广东省深圳市光明区公明中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市光明区公明中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是

A.  B.  C.  D.

3. 若，则下列不等式一定成立的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列因式分解正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，点是直线外一点，在上取两点，，分别以，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形一定是

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

6. 如图，在中，，，于，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 把分式中的和都扩大倍，则分式的值

A. 不变 B. 扩大为原来的倍
C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍

8. 下列说法错误的是

A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

9. 如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，，，的中点恰好落在轴上，交轴于点，连接，给出判断：；平分；；是等腰三角形．其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 使分式有意义的的取值范围为______．
12. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是______边形．
13. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的
    不等式的解集为______．
     

14. 如图，矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，设折痕为，则重叠部分的面积等于______．
     

15. 如图，在中，，，点在线段上，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，，垂足为点则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来；
    解方程：．
17. 因式分解：；
    化简：
18. 按要求完成作图：
    作关于轴对称的；
    将向左平移个单位得，请作出；
    在轴上有一个点，满足最小，请直接写出点的坐标．

19. 新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进，两种消毒液，购买种消毒液花费了元，购买种消毒液花费了元，且购买种消毒液数量是购买种消毒液数量的倍，已知购买一桶种消毒液比购买一桶种消毒液多花元．
    求购买一桶种、一桶种消毒液各需多少元？
    为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资．其中，两种消毒液准备购买共桶．如果学校此次购买、两种消毒液的总费用不超过元，那么学校此次最多可购买多少桶种消毒液？
20. 如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，．
    求证：四边形为矩形；
    若，，求的长．
    
     

21. 阅读短文，解决问题
    定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”例如：如图，四边形为菱形，与重合，点在上，则称菱形为的“亲密菱形”．
    如图，在中，，平分，交于点，过点作，．
    
    求证：四边形为的“亲密菱形”；
    若，，求四边形的周长；
    如图，、分别是、的中点，连接若，求的值．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
    求证：≌；
    请直接写出点的坐标，并求出直线的函数关系式；
    若点是轴上的一个动点，点是线段上的点不与点、重合，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点坐标．若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由图知且，
则该不等式组的解集为，
故选：．
根据口诀：同大取大即可找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：若，不等式两边同时乘以得，，即项不符合题意，
B.若，不等式两边同时减去得，，即项符合题意，
C.若，当时，，即项不符合题意，
D.若，不等式两边同时除以得，，即项不符合题意，
故选：．
根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形不正确的选项即可．
本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
 

4.【答案】

【解析】解：：，故A错误；
：，故B错误；
：，故D错误．
故选：．
利用因式分解的方法计算即可．
本题主要考查因式分解，要注意最后的结果是否分解彻底，还要注意完全平方公式和平方差公式的应用．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
利用平行四边形的判定方法可以判定四边形 是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
【解答】
解： 分别以 、 为圆心， 、 长为半径画弧，两弧交于点 ，
、
四边形 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
故选 A ．   

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质．根据等腰三角形的性质，求出 ，由垂直的定义，即得 的度数．
【解答】
解： ， ，
，
又 ，
，
．
故选 D ．   

7.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
把分式中的和都扩大倍，则分式的值扩大为原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意；
故选：．
直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
垂直平分，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：是正方形，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
是的中点，
，
，，
，，
作于点，则，

，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
又，
，
故正确；
延长，过作延长线的垂线并与的延长线交于点，

，
，
，
≌，
，
，
是的中点，
是等腰三角形，
故正确；
故选：．
根据正方形的性质，可得≌，从而得到正确，延长，过作延长线的垂线并与的延长线交于点，再由，的坐标，可推出≌，得出是的中点，最后得出是等腰三角形．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是构造与全等．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据分式有意义的条件是分母不为列式计算即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】十

【解析】解：一个多边形的每个内角都是，
这个多边形的每个外角都是，
这个多边形的边数．
故答案为：十．
先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据边的外角和为即可得到其边数．
本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．
 

13.【答案】

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为．
结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】

【解析】解：设，由折叠可知，，，
在中，，即，
解得：，
由折叠可知，
，
，
，即，
．
故答案为：．
要求重叠部分的面积，选择作为底，高就等于的长；而由折叠可知，由平行得，代换后，可知，问题转化为在中求的长，进而可得出的面积．
本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等
 

15.【答案】

【解析】解：在中，，，
根据勾股定理得，，
．
又，
．
过点作于点，

由已知条件得，
．
又，
．
在和中，
．
≌，
．
在等腰中，由勾股定理得，
，
，
．
故答案为：．
根据勾股定理先求出边长，再求出长，过点作垂直，可证≌，即，在等腰直角三角形中可求，即可直接求解．
本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明≌是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集为：

，
，
，
解得：
检验：当时，，
是原方程的根．

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



．

【解析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式；
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则和因式分解的方法是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求；
如图所示，点即为所求，其坐标为．

【解析】分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
连接，与轴的交点即为所求．
本题主要考查作图轴对称变换与平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质．
 

19.【答案】解：设购买一桶种消毒液需元，则购买一桶种消毒液需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一桶种消毒液需元，购买一桶种消毒液需元．
设学校此次购买了桶种消毒液，则购买了桶种消毒液，
依题意，得：，
解得：．
答：学校此次最多可购买桶种消毒液．

【解析】设购买一桶种消毒液需元，则购买一桶种消毒液需元，根据数量总价单价结合用元购买种消毒液的数量是用元购买种消毒液数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设学校此次购买了桶种消毒液，则购买了桶种消毒液，根据总价单价数量结合学校此次购买、两种消毒液的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
．
，，
．
四边形是平行四边形．
又，
四边形为矩形；
，，点是的中点，
．
由知，四边形为矩形，则．
在直角中，，，由勾股定理得：．
，，
．

【解析】欲证明四边形为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得；然后在直角中利用勾股定理得到的长度；最后结合求解即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
而菱形的与的重合，在上，
四边形为的“亲密菱形”；
解：由知四边形是菱形，设，
，
，
，，
，
，
，
解得，
四边形的周长为；
解：过作交于，如图：

，，
四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
，
为中点，
，
，，
，
．

【解析】由，，得四边形是平行四边形，根据平分，可得，，即可证明四边形是菱形，而菱形的与的重合，在上，故四边形为的“亲密菱形”；
设，由，，得，即，列方程，解得，即可求出四边形的周长为；
过作交于，由四边形是平行四边形，得，，根据、分别是、的中点，可得为中点，即可得，从而得，．
本题利用新定义考查直角三角形性质及菱形的性质与判定，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，熟练应用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
 

22.【答案】证明：，
，，
，
将线段绕着点顺时针旋转得到，
，
在和中，，
≌；
解：在中，令，则；
令，则，
点的坐标为，点的坐标为，
设，
由得：≌，
，，
点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
将、代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为；
解：存在，理由如下：
点在线段上，直线的解析式为，
设点，
点在轴上，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标点的纵坐标，
，
解得：，
，
设点的坐标为，分两种情况：
如图所示：

则，
解得：，
；
如图所示：

则，
则，
；
综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或．

【解析】利用同角的余角相等可得出，由旋转的性质可得出，结合即可证出≌；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设，则点的坐标为，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，进而可得出点，的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
设点，由题意得，，则点的纵坐标点的纵坐标，求出，则，设点的坐标为，分两种情况，由平行四边形的性质得出方程，解方程即可．
本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，由待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．