精品解析：广东省深圳市福田区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

2021—2022学年第二学期期末学业质量调研测试

八年级数学

本试题共6页，22题，满分100分，考试用时90分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按上述要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，留存试卷，交回答题卡．

第一部分  选择题

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．

【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2. 已知，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质解答即可．

【详解】解：A．由x＜y，可得x−2＜y−2，故本选项不合题意；

B．由x＜y，可得，故本选项符合题意；

C、由x＜y，可得，，故本选项不合题意；

D、由x＜y，可得，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3. 下列各式中，从左到右因式分解正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．

【详解】解：A、，故原式分解因式错误，不合题意；

B、故原式分解因式错误，不合题意；

C、，不是因式分解，不合题意；

D．，正确．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

4. 五边形的外角和是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据多边形的外角和都为解答即可．

【详解】解：∵多边形的外角和都为，

∴五边形的外角和是，

故选：A．

【点睛】本题考查多边形的外角和，解题关键是掌握相关的概念与定理．

5. 下列命题正确的是（    ）

A. 两个等边三角形全等

B. 有两边及一个角对应相等的两个三角形全等

C. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

D. 有一个锐角相等的两个直角三角形全等

【答案】C

【解析】

【分析】利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．

【详解】解：A，两个等边三角形各个角都相等，但边长不一定相等，因此不一定是等边三角形，故此选项错误；

B，两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故此选项错误；

C，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可以用HL证明全等，故此选项正确；

D，有一个锐角相等的两个直角三角形对应角相等，但边长不一定相等，故此选项错误；

故选C．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

6. 若平行四边形中两个相邻内角的度数比为，则其中较小的内角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质来解答即可．

【详解】解：∵平行四边形，

∴两个相邻内角互补，

又∵两个相邻内角的度数比为，

∴两个相邻的内角为60°、120°，

∴较小的内角为60°．

故选：C．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键．

7. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

【详解】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，，则”时，首先应假设∠B=∠C，

故选：D．

【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

8. 若分式方程有增根，则k的值是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】先解出分式方程，再根据分式方程有增根，则最简公分母为0可列出关于k的方程，解之即可．

【详解】解：去分母得，x=k

∵分式方程有增根，

∴k-1=0

解得k=1

故选：B．

【点睛】本题考查分式方程的增根问题，解题关键是理解分式方程有增根，则它的最简公分母为0．

9. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，CE＝3cm，

∴DA＝DC，AC＝6cm，

∵△ABD的周长为13cm，

∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13cm，

∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝19cm，

故选：A．

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

10. 如图，的对角线交于点O，点E是的中点，且，，连接．给出下列4个结论：

①是等边三角形；      

②；

③；               

④若，则．

上述结论正确的有（    ）

A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】运用平行四边形性质可得 再证明，从而可得是等边三角形，故可判断①正确；由是等边三角形可得，，从而可求出，故可判断②正确；证明得出为AC的中点，又E为BC的中点，故OE为的中位线，故可得，由可得出，故可判断③正确；由①②可判断，根据勾股定理求出BC=，进一步求出，由中线的性质可得结论．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AO=CO，

∴

∵

∴

∵点E为BC的中点，

∴

又

∴

∴是等边三角形，故结论①正确；

∴，

∴

∵

∴

∴，故结论②正确；

∵AO=CO

∴点O为AC的中点，

又点E为BC的中点，

∴OE为的中位线，

∴

∵

∴，故结论③正确；

∵

∴

∵

∴

由勾股定理得，

∴

∵AE为BC边上的中线，

∴,

∵EO为AC边的中线，

∴，故结论④错误；

所以，正确的结论是①②③，共3个，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．

第二部分  非选择题

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 要使分式的值为0，则___________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．

【详解】解：根据题意得m-3=0，m+3≠0，

∴m=3，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．

12. 如图，是等边的角平分线，，则__________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据等腰三角形的三线合一及等边三角形的定义即可得到答案．

【详解】解：∵是等边三角形，，

∴AC=AB=10

∵是等边的角平分线，

∴．

故答案为：5．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握等边三角形的相关性质．

13. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_____________．

【答案】x>-1

【解析】

【分析】根据图像可直接观察得到不等式的解集．

【详解】解：由图像可知，两直线相交于点(-1，2)，

当x>-1时，，

故答案为：x>-1．

【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合思想通过图形观察得到答案．

14. 福田区某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛，共有50道题．答对一题记2分，答错（或不答）一题记分．小明参加本次竞赛得分要不低于85分，他至少要答对____________道题．

【答案】45

【解析】

【分析】设小明答对了x道题，则答错（或不答）（50-x）道题，依据得分不低于85分列出不等式，解之即能求出答案．

【详解】解：设小明答对了x道题，

根据题意得，，

解得，

所以他至少要答对45道题，

故答案为：45．

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题关键是找到题中的不等关系，列出不等式．

15. 如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________．

【答案】

【解析】

【分析】连接BE，首先证明GF＝GE＝GD，求出GE，然后根据OB＝OE＝OC＝BC可得点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上，求出∠BEC＝90°，进而可求BE、CE、CG的长，再利用面积法求出点F到直线AC的距离，进而可求的面积．

【详解】解：连接BE，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝5，

∵点O是BC边的中点，

∴BO＝CO＝BC＝2，

∵把绕边的中点O旋转后得，直角顶点E恰好落在边上，

∴BO＝EO＝2，∠DFE＝∠ACB，∠CBA＝∠FED，AC＝DF，

∴CO＝EO，

∴∠OCE＝∠OEC，

∴∠DFE＝∠OEC，

∴GF＝GE，

∵∠D＋∠DFE＝∠DEG＋∠GEF＝90°，

∴∠D＝∠DEG，

∴GE＝GD，

∴GE＝DF＝AC＝，

∵OB＝OE＝OC＝BC，

∴点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上，

∴∠BEC＝90°，

∴BE＝，

∴CE＝，

∴CG＝CE−GE＝，

∵GF＝GE＝GD，

∴S△GFE＝S△GDE＝S△DEF＝，

设点F到直线AC距离为h，则，即，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及圆周角定理等知识，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题7分，第21题10分，第22题10分，共55分）

16. 因式分解：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先提取公因式2，再利用平方差公式进行分解即可；

（2）首先提取公因式x，再利用完全平方公式进行分解即可．

【小问1详解】

=

=

【小问2详解】

=

=

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，因式分解要彻底，直到不能分解为止．

17. 解不等式组，并把解集数轴上表示出来；

【答案】－2＜x≤2，数轴见解析

【解析】

【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．

【详解】解： ，

解不等式①，得x≤2，

解不等式②，得x＞－2．

∴原不等式组的解集为－2＜x≤2．

解集数轴上表示如下：

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．

18. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算即可．

【详解】解：原式

当，原式=．

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．

19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；

（2）画出关于点O的中心对称图形；

（3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为_____________．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）(2，-0.5)

【解析】

【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到；

（2）根据中心对称的定义即可画出关于点O的中心对称图形；

（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到，进而写出旋转中心的坐标．

【小问1详解】

如图，即为所作，

【小问2详解】

如图，即为所作，

【小问3详解】

根据图形可知，旋转中心的坐标为(2，-0.5)．

故答案为：(2，-0.5)．

【点睛】本题考查了利用平移、旋转作图，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

20. 新冠肺炎疫情发生后，口罩市场出现热销，运输公司接到任务，要把一批口罩运到A市．公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱口罩，且甲种货车装运500箱口罩所用车辆数与乙种货车装运400箱口罩所用车辆数相等，求甲乙两种货车每辆车可装多少箱口罩？

【答案】甲种货车每辆车可装100箱口罩，乙种货车每辆车可装80箱口罩

【解析】

【分析】设乙种货车每辆车可装x箱口罩，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱口罩，根据甲种货车装运500箱口罩所用车辆与乙种货车装运400箱口罩所用车辆相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【详解】解：设乙种货车每辆车可装x箱口置，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱口罩，

依题意，得：，

解得：x=80，

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

∴x+20=100．

答：甲种货车每辆车可装100箱口罩，乙种货车每辆车可装80箱口罩．

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．

21. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究．

下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；

（1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：

表格中m的值为__________，n的值为___________．

（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）

（3）请观察函数的图像，直接写出如下结论；

①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；

②方程的解是____________；

③不等式的解集为________．

【答案】（1）-1，1   

（2）见解析    （3）①>-1，②4或-6，③-5<x<3

【解析】

【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案；

（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线；

（3）根据函数图像和性质解决．

【小问1详解】

解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1.

故答案为：-1，1．

【小问2详解】

函数图像如图所示，

【小问3详解】

①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大；

②当自变量x的值为4或-6时，y=2；

③解不等式|x+1|<4的结果为-5<x<3．

故答案为：>-1，4或-6，-5<x<3．

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键．

22. （1）【问题探究】如图，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．

请你完善以下证明过程：

∵是的中线

∴______=______

∵

∴四边形是平行四边形

（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连接．

求证：四边形是平行四边形．

（3）【灵活应用】如图，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．

【答案】（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；

（2）延长至点F，使，连接CF，同（1）证四边形是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，推出，即可证明；

（3）作辅助线（见解析），同（2）可证四边形是平行四边形，得出，同（1）可证四边形是平行四边形，得到，，； 时，MC取最小值，取最小值，利用三角形等面积法求出MC，再利用勾股定理即可求出CE．

【详解】（1）解：∵是的中线，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形．

故答案为：，；

（2）证明：如图，延长至点F，使，连接CF，BF，

∵是的中线，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形．

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形．

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形．

（3）解：如图所示，连接AE，BM，延长DM至点N，使，连接CN，BN．

∵点D是的中点，

∴，

又∵，，

∴．

同（2）可证，四边形是平行四边形，

∴，

∴当MC取最小值时，取最小值，

∵，

∴时，MC取最小值．

同（1）可证四边形是平行四边形，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，

即，

∴，

又∵在中，，，

∴．

故线段CE的长为．

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式等，第3问有一定难度，解题的关键是应用第（1）（2）问的结论，利用等面积法求出MC．