2021-2022学年广东省深圳市光明区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省深圳市光明区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面以数学家名字命名的图形中，是中心对称图形的是(    )

A. 谢尔宾斯基三角形
B. 科克曲线
C. 赵爽弦图
D. 毕达哥拉斯树

2. 分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D. 为任意实数

3. 五边形的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 多项式中各项的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列说法正确的是(    )

A. 四边形的外角和是
B. 如果，那么
C. 点关于原点对称的点的坐标是
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

8. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点在的平分线上，于点，，点在边上，且则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是的对角线，将▱折叠，使得点与点重合，再将其打开展平，得折痕，与交于点，为的中点，连接、，则下列结论：；；；其中正确的有(    )

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 因式分解：______．
12. 若分式方程有增根，则 ______ ．
13. 如果将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位得到点，那么点的坐标是______．
14. 如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长为______．

15. 如图，在▱中，，，为的中点，，点是线段上一个动点，以为对角线作▱，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 解不等式组．
17. 解方程．
18. 先化简，再求值：，其中
19. 如图，是的边的中点，，，垂足分别是、，且．
    求证：是等腰三角形；
    若，，求的面积．

20. 北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融受到大家的喜爱，某冬奥商品授权经销店欲购进这两种纪念品，已知每件冰墩墩的进价比雪容融的进价贵元，用元购进冰墩墩的数量与用元购进雪容融的数量相同．
    求冰墩墩和雪容融每件的进价分别为多少元？
    若该商店冰墩墩纪念品每件售价元，雪容融纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，全部售出后总获利不低于元，求雪容融纪念品最多购进多少件？
21. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，已知点．
    
    求直线的解析式；
    为线段上一个动点，若，求此时点的坐标；
    点是的中点，为直线上的一个动点，过为作轴交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标．
22. 和是等腰直角三角形，，，．
    
    【观察猜想】当和按如图所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系．
    【探究证明】如图，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
    【拓展应用】如图，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：要使有意义，得
．
解得，
当时，有意义，
故选：．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
 

3.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和是：



故选：．
根据边形的内角和为：，且为整数，求出五边形的内角和是多少度即可．
此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确边形的内角和为：，且为整数．
 

4.【答案】 

【解析】解：这两项系数的最大公约数是，两项的字母部分与都含有字母和，其中的最低次数是，的最低次数是，因此多项式中各项的公因式是，
故选：．
利用公因式的确定方法可得答案．
此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“”．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：

故选A．
求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，是因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、左边与右边不相等，是错误的因式分解，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

7.【答案】 

【解析】解：、四边形的外角和是，
选项A符合题意；
B、如果，，那么，
选项B不符合题意；
C、点关于原点对称的点的坐标是，
选项C不符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，
选项D不符合题意；
故选：．
由四边形内角和定理、不等式的性质、关于原点对称的点的坐标特征、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、关于原点对称的点的坐标特征、不等式的性质、四边形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象可知：
直线与的交点坐标为：，
关于的不等式的解集为．
故选：．
根据图象可得，直线与的交点坐标为：，当时，直线，落在直线的下方，即可得答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键．
过作于，根据角平分线性质求出，求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．
【解答】
解：过作于，

点在的平分线上，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
由折叠的性质得，，
，
在与中，
，
≌，
，
，故正确；
≌，
，
，
，故正确；
，为的中点，
，
，故正确；
只有当是的等分点时，，
而不一定等于，
不一定，故错误，
综上所述：其中正确的有，共个．
故选：．
由四边形是平行四边形，得到，，根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，故正确；，故正确；根据直角三角形的性质得到，故正确；只有当是的等分点时，，而不一定等于，于是得到不一定，故错误，
本题考查了翻折变换折叠问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行二次分解．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘以得，，
整理得，，
分式方程有增根，
，解得，
．
故答案为．
根据分式方程的增根的定义得到分式方程的增根为，再把分式方程两边都乘以得，，则，然后把代入可计算出的值．
本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边不成立或分母为，那么这个未知数的值叫分式方程的增根．
 

13.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度再向下平移个单位长度得到点
即，
故答案为：．
利用横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握平移变换与坐标变化规律．
 

14.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
先由线段的垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，连接交于，连接，

四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
当点与点重合时，有最小值，即有最小值，
的最小值为，
故答案为：．
先证四边形是菱形，可得，，当点与点重合时，有最小值，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：将原方程两边同乘以，得
分

，分
经检验，不是增根；分
故原方程的解是分 

【解析】本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

19.【答案】证明：是的边的中点，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
连接，如图，

是的边的中点，是等腰三角形，，
，，
，
． 

【解析】由中点可得，再由垂直可得，利用可证得≌，从而得，即可判定是等腰三角形；
连接，由中点得，利用等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可求得的长度，即可求的面积．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是证得．
 

20.【答案】解：设每件雪容融的进价为元，则每件冰墩墩的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每件冰墩墩的进价为元，每件雪容融的进价为元．
设购进雪容融纪念品件，则购进冰墩墩纪念品件，
依题意得：，
解得：．
答：雪容融纪念品最多购进件． 

【解析】设每件雪容融的进价为元，则每件冰墩墩的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进冰墩墩的数量与用元购进雪容融的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每件雪容融的进价，再将其代入中即可求出每件冰墩墩的进价；
设购进雪容融纪念品件，则购进冰墩墩纪念品件，利用总利润每件的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
点和点，
设直线的解析式为：，
把，代入解析式得，
解得，
直线的解析式为；

点，点，
，
，
，
，
设点的坐标为，
，
，
点的坐标为；

设的横坐标为，
，，
，
、、、为顶点的四边形是平行四边形，轴
，
点，点是的中点，
，
，
解得或．
点的坐标为或 

【解析】由直线与轴、轴分别交于点和点求出点和点，再根据待定系数法即可求出直线的解析式；
先求出的面积，设点的坐标为，根据三角形面积公式列出关于的方程，求出，即可求解；
设的横坐标为，分别表示出、的坐标，根据平行四边形的性质得到，列出方程求出，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，将一次函数图象上点的坐标与平行四边形的性质结合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式及平行四边形的性质．
 

22.【答案】解：【观察猜想】，，
证明：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
；

【探究证明】线段和线段的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
；

【拓展应用】如图，在的右侧以为直角顶点作等腰直角，连接，

，，，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转至，
，，
由【探究证明】知，
． 

【解析】【观察猜想】根据推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
【探究证明】根据推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
【拓展应用】在的右侧以为直角顶点作等腰直角，连接，则，，，可得，由勾股定理可得，，由旋转得，，由【探究证明】知，即可得的长．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明≌是本题的关键．