选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理课时训练

1.2空间向量基本原理

一．选择题（共5小题）

1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为　　

A． B． C． D．1

2．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则　　

A． B． 

C． D．

3．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，1，，，0，，，，线性相关，则　　

A．9 B．7 C．5 D．3

4．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则，，为　　

A． B． C． D．

5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

6．已知向量其中，现有以下命题：

（1）向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与，无关；

（2）的最大值为；

（3）的夹角）的最大值为；

（4）若定义，则的最大值为．

其中正确的命题有　 　．（写出所有正确命题的序号）

7．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为　　．

8．如图，在正方体中，和相交于点，若，则　 　．

三．解答题（共2小题）

9．如图，已知平行六面体．

若为的重心，，设，用向量、、表示向量；

若平行六面体各棱长相等，且平面，为中点，，求证：平面．

10．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底，，表示以下向量：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

1.2空间向量基本原理

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为　　

A． B． C． D．1

【分析】令，，，，问题等价于求的最小值，讨论在平面，，平面内三种情况，分别计算得到答案．

【解答】解：令，，，

故原式等价于

，

令，

因为，，

所以在平面内，即平面内，

为，，平面内任意一点，

所以问题等价于求的最小值，显然取在各平面内的射影时最小，

可分三种情况求解：

①当在平面内时，作的垂面，作，

为投影在上投影，得，作的平面图，

△，此时，，，

所以，

所以，

所以当在点时的最小值为．

同理②当在平面内时，在上，可得平面图：

此时，，，，

所以．

同理③当在平面内时，，，，

当时，最小，

所以，，，

综上：的最小值为．

故选：．

【点评】本题主要考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力，以及运用了分类讨论与数形结合的思想．

2．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则　　

A． B． 

C． D．

【分析】如图所示，连接．由，分别是四面体的边，的中点，是的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．

【解答】解：如图所示，连接

，分别是四面体的边，的中点，是的中点，

，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了三角形法则、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，1，，，0，，，，线性相关，则　　

A．9 B．7 C．5 D．3

【分析】三个向量线性相关，得存在不全为0的实数，，，使得成立；

列出方程组，用代替、，化简求得的值．

【解答】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，，使得成立；

即

由

得，，

代入，

得；

由于，，不全为0，

所以，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是中档题．

4．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则，，为　　

A． B． C． D．

【分析】利用三角形重心的性质以及向量的几何运算将用，，表示，然后根据空间向量基本定理可得．

【解答】解：，，

即，根据空间向量基本定理可得，

故选：．

【点评】本题考查了空间向量基本定理，三角形重心的性质，属中档题．

5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为　　

A． B． C． D．

【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用、和表示出即可．

【解答】解：取的中点，连接、，如图所示；

为的中点，

，，，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．

二．填空题（共3小题）

6．已知向量其中，现有以下命题：

（1）向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与，无关；

（2）的最大值为；

（3）的夹角）的最大值为；

（4）若定义，则的最大值为．

其中正确的命题有　（1）（3）（4）　．（写出所有正确命题的序号）

【分析】（1）取轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断命题正确；

（2）计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；

（3）利用数量积求出与夹角的最大值，即可判断命题正确；

（4）根据定义求出的最大值即可判断命题正确．

【解答】解：（1）取轴的正方向单位向量，0，，

则，，

向量与轴正方向的夹角恒为定值，命题正确；

（2），

当且仅当，时取等号，因此的最大值为1，命题错误；

（3）由（2）可得：，，

，，

，的最大值是，命题正确；

（4）由（3）可知：，，

，，，，

，，命题正确．

综上可知：正确的命题序号是（1）（3）（4）．

故答案为：（1）（3）（4）．

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，也考查了推理与计算能力，属于难题．

7．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为　，，　．

【分析】如图所示，由，且，可得，，代入即可得出．

【解答】解：如图所示，

，且，

，

，

，

又，

则，，．

故答案为：，，．

【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．如图，在正方体中，和相交于点，若，则　　．

【分析】由，，，．代入化简整理即可得出．

【解答】解：，，，．

，与比较，可得：，，则．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量基本定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

三．解答题（共2小题）

9．如图，已知平行六面体．

若为的重心，，设，用向量、、表示向量；

若平行六面体各棱长相等，且平面，为中点，，求证：平面．

【分析】利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将用基底表示，再在△中，将用基底表示；

连接，，由已知证明△为等腰三角形，从而，同理可证明，最后由线面垂直的判定定理证明结论

【解答】解：依题意，

为的重心，

又

证明：连接，，

平行六面体各棱长相等且平面

，

△为等腰三角形

为的中点，

同理可证

，

平面．

【点评】本题考查了空间向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则，重心的性质及线面垂直的判定定理．

10．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底，，表示以下向量：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【分析】利用向量的平行四边形法则和向量的共线定理即可得出．

【解答】解：如图所示，

（1）；

（2）；

（3）

；

（4）

．

【点评】熟练掌握向量的平行四边形法则和向量的共线定理是解题的关键．