初中2.5 直线与圆的位置关系优秀同步测试题

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第2章 对称图形----圆
2.5 直线与圆的位置关系
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课程标准
课标解读
1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；
2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练
掌握以上内容解决一些实际问题；
3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位
置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
知识精讲

知识点01 直线和圆的位置关系
1． 直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

　　　　　　　　

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

　　
【微点拨】
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【知识拓展】
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
【即学即练1】1．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．

知识点02 切线的判断定理、性质定理和切线长定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【微点拨】
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【微点拨】
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
4．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【微点拨】
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
5．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
6．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
【微点拨】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点

(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点

(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
【即学即练2】2．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝120°，则∠BAC的度数是（ ）

A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【分析】
由切线的性质得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=120°，
∴∠OAB==30°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°．
故选：D．
知识点03 圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.

　　　　　　　
2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离 d＞r1+r2
两圆外切 d=r1+r2
两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2)
两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2)
【微点拨】
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
【即学即练3】3．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
能力拓展

考法01 切线的性质定理
1、圆的相切的定义： 直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。
2、切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
【典例1】如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
连接OA，OP，切线的性质得到OA⊥AP，然后利用勾股定理计算OP的长．
【详解】
解：连接OA，OP，
∵PA切圆O与点A，
可得OA=3，OA⊥AP，
∵AP=4，
∴OP==5，
故选D．

考法02 切线的性质和判定的综合应用
1、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、直线与圆的位置关系：
相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；
相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线
【典例2】如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得．
【详解】

如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因为PA与相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
分层提分

题组A 基础过关练
1．如图，是⊙O的切线，切点为，，，则⊙O的半径长为（ ）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】
连接OA，根据切线的性质得，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出OA即可.
【详解】
解：连接OA，如图，
∵是的切线，切点为A，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的半径长为2．
故选：C．

2．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【答案】B
【分析】
比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得出直线L与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵7>6，
∴直线l与⊙O相离．    
故选：B．
3．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为3，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【分析】
先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为3，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∴过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选：C．
4．已知⊙O的半径是3 cm，若圆心O到直线l的距离为1 cm，则⊙O与直线l的位置关系是
（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】
直接根据直线与圆的位置关系判断即可．
【详解】
∵r=3，d=1，r＞d，
∴位置关系为相交，
故选：A．
5．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条 B．条 C．条 D．无数条
【答案】A
【分析】
先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案．
【详解】
⊙的半径为，点到圆心的距离为，
,
点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，
过点可以作⊙的条切线．
故选：A．
6．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
【答案】B
【分析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故选：B．
7．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
先用勾股定理计算线段的长，分两种讨论：若与斜边相切时，通过等积法计算的面积，可求得半径的长；若，圆与边也只有一个公共点，据此解题即可.
【详解】
如图，过点作于点．
，．
①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故选D．

题组B 能力提升练
1．已知在中，，是的中点，的延长线上的点满足．的内切圆与边，的切点分别为，，延长分别与，的延长线交于，，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】
取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根据∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
【详解】
解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，

则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴，
故选：B．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是△ABC的外心，CO=5，BC=6，则△ABC内切圆半径为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】B
【分析】
根据三角形外接圆知识知CO的长即为斜边的中线，进而求出斜边，再利用勾股定理求出另一直角边，最后利用等面积法求出内切圆半径即可．
【详解】
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是△ABC的外心，
∴O在斜边AB的中点，
∴CO为斜边上的中线，
∵CO=5，BC=6，
∴斜边AB=2OC=10，
∴AC=8（勾股定理），

设⊙O′半径是r，
连接O′A、O′B、O′C、O′D、O′E、O′F ，
∴⊙O′为△ABC的内切圆，切点是D、E、F ,
∴O′D⊥AC， O′E⊥BC， O′F⊥AB ，O′D=O′E=O′F=r ,
根据三角形的面积公式得:，
，
，
，
∴△ABC内切圆半径为2，
故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　）
A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5
C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或
【答案】B
【分析】
根据题意可以画出相应的图形，然后即可得到OA的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：如右图所示，
当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点，
作O3D⊥BC于点D，
则∠O3BD＝∠ABC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
设O3A＝a，则O3B＝5﹣a，
∴ ，得 ，
∴当 时，⊙O与三角形边的交点个数为3，
当点O为AB的中点时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5，
由上可得， 或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3，
故选：B．

4．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　）
A．32 B．34 C．27 D．28
【答案】D
【分析】
如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2＝256，因为a2+b2＝122＝144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．

设AB＝a，BC＝b，则有2＝，
∴a+b＝16，
∴a2+2ab+b2＝256，
∵a2+b2＝122＝144，
∴2ab＝112，
∴ab＝28．
∴△ABC的面积为28．
故选：D．
5．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为____．
【答案】65°或115°
【分析】
根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数．
【详解】
如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE=∠AOB=65°

如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE
∴∠COD=（360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°．

6．在平面直角坐标系中，若菱形的两条对角线分别与轴、轴平行，则称该菱形为坐标平面内的“规则菱形”．已知点，，的坐标分别为，，，现以点为圆心，长为半径作，若在上存在点，线段上存在点，使以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
如图，作点A关于x轴点对称点G，连接AG交x轴于H，以AG为对角线作正方形ADGE，可得正方形ADGE是“规则菱形”，根据以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形可知△AHE为等腰直角三角形，根据点A坐标可得点E坐标，当点N与点B重合时，过点B作BF//AE，当⊙C与BF相切时，c有最大值，根据⊙C半径及等腰直角三角形点性质可求出FC1的长，可得点C坐标，即可得出c值，同理，当点N与点A重合时可求出点c的最小值，即可得c点取值范围．
【详解】
如图，作点A关于x轴点对称点G，连接AG交x轴于H，以AG为对角线作正方形ADGE，
∴HD=HE，AH=HG，DE⊥AG，AG⊥x轴，
∴点D、E在x轴上，△AHE为等腰直角三角形，正方形ADGE是“规则菱形”，
∴AH=EH，∠AEH=45°，
∵A（2，5），B（5，5），
∴OE=7，AB=3，AB//EF，
∵以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，
∴当点N与点B重合时，过点B作BF//AE，则四边形AEFB是平行四边形，
∴AB=EF，当⊙C与BF相切于M时，c有最大值，
∴OF=10，
∵BF//AE，
∴∠BFE=45°，
∵⊙C半径为，⊙C与BF相切于M，
∴C1M⊥BF，C1M=，
∵∠C1FM=45°，
∴C1M=FM=，
∴FC1=4，
∴OC1=14，
∴C1（14，0），即c=14，
同理，当点N与点A重合时可得⊙C与AD相切时，c有最小值，HD=5，OD=3，C2D=4，
∴OC2=7，
∴C2（-7，0），即c=-7，
∴的取值范围是．

故答案为：．
7．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为____________．
【答案】
【分析】
先说明三角形三边是直角三角形，再根据直角三角形可确定三角形的外心在斜边的中点和直角三角形内切圆半径公式确定内切圆的半径，然后用勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图：∵三角形的三边长为BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm
∴三角形为直角三角形
∴直角三角形的外心是斜边的中点，即AD=BD=AB=5
由直角三角形内切圆半径公式： 即OE=2
∵OF⊥BC，OG⊥AC
∴CF=CG=OF=OG=2，
∴BE=FB=4，BD=5
∴DE=BD-BE=1
在Rt△ODE中，DE=1，OE=2
∴OD=．
故答案为．

题组C 培优拔尖练
1．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）

A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
【答案】A
【分析】
以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点D到BC的最大距离，即可求出面积最大值．
【详解】
解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，
∵，
∴，即
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，
要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，
∵是边长为4的等边三角形，
∴点M到BC的距离是，
∴点D到BC的最大距离是，
∴的面积最大值是．
故选：A．

2．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OE，OD，DE，易得∆OAD，∆OBE，∆ODE都是等边三角形，且∆OAD≅∆OBE≅∆ODE，从而得弓形BE的面积=弓形DE的面积，进而得阴影部分的面积=∆CDE的面积，进而即可求解．
【详解】
连接OE，OD，DE，
∵是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OA=OB=OD=OE，
∴∆OAD，∆OBE，∆ODE都是等边三角形，且∆OAD≅∆OBE≅∆ODE，
∴BE=DE，
∴弓形BE的面积=弓形DE的面积，
∴阴影部分的面积=∆CDE的面积，
∵CE=BC-BE=AC-AD=CD=4-2=2，
∴∆CDE是等边三角形，边长为2，
∴过点C作CM⊥DE于点M，则DM=1，CM=DM=，
∴∆CDE的面积=DE×CM=，
∴阴影部分的面积=．
故选C．

3．如图，是的外接圆，过点作的切线，且，点、分别在、上，且.若的半径为，，则的长为（ ）

A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AD与相切于点A，，可求得OH的长，然后勾股定理求得AC的长，又由可证得EF=AC，进而求得答案.
【详解】
解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC
∵直线AD与相切于点A
∴AH⊥AD
又∵
∴AH⊥BC
∴
∵的半径为
根据勾股定理：
∴
根据勾股定理：
∵
∴
∴
∴
故选D

4．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）

A．-1 B．7-4 C． D．1
【答案】D
【分析】
如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，由此推出点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
【详解】
解：如图，连接CE．


∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
∴点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，
∴中优弧度数为240°，劣弧度数为120°
∴△BOC是等腰三角形，∠BOC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=.
∴MB=MC=4，
∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA==，
∴AE的最小值为=5-4=1．
故选D．
5．如图，在中，其周长为20，⊙I是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为（ ）

A．7 B． C． D．
【答案】D
【分析】
过C作CD⊥AB于D，由结合面积求出BC的长，由内心可以求出，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，求出圆心角，最后由垂径定理求出半径OB
【详解】
过C作CD⊥AB于D，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设，

∵，
∴，
∵在周长为20，内切圆半径为，
∴，
∴
∴
中，
∴

∵在周长为20，
∴
∴
解得
∵是的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵°
∴
∴
∵OE⊥BC
∴,
∴
故选D
6．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（　　）
A．119 B．289 C．77或119 D．119或289
【答案】D
【分析】
分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理，然后按梯形面积的求解即可.
【详解】
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，

∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∴OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12-5=7cm；
∴四边形ACDB的面积
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，

∵AB=24cm，CD=10cm，
∴.AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm.
∴四边形ACDB的面积
∴四边形ACDB的面积为119或289.
故选：D.
7．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，设P点的横坐标为x，A（1，0）、B（-1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2的最大值是

A．64 B．98 C．100 D．124
【答案】C
【解析】
当点P为直线OQ与⊙Q的交点时，处于如图所示的位置时，PA2+PB2有最大值，
设P点坐标为（m，n），
由于Q（3，4），所以直线OQ的解析式为：y=，所以n= ，
因为⊙Q的半径为2，点P在⊙Q上，所以（m-3）2+(n-4)2=22，
所以m= ，n= ，
此时PA2+PB2=（m-1）2+n2+(m+1)2+n2=2m2+2n2+2=100，即PA2+PB2的最大值是100，
故选C.