初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆的位置关系导学案

圆中的相关计算

弧长和扇形面积                                   

一、学习目标

本节中我们巩固几个公式，都比较复杂，我们需要用心记忆。

二、知识梳理

1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

，其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

，其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

4、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

如下图，切线AB和弦AC的夹角∠2等于弧AC所对的圆周角，即：∠BAC=∠ADC

5、切割线定理

PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，

则

6.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

说明：几何语言：　　若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

三、典例精讲

题型一：

例1． 已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为     。

练习、如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；    （Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长

题型二：求阴影部分面积

例1、若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为　　　　　　．

例2、正方形ABCD的边长为2cm，以B点为圆心，AB长为半径作，则图中阴影部分的面积为（    ）

A、（4— π）cm2          B、（8—π ）cm2 

C 、（2π —4）cm2       D、（π —2）cm2

例3、要在面积为1256m2的三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是      m（π取3.14）

例4、已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（     ）

A、48π       B、48      C、24π     D、24

四、考点总结

（1）、考点

1、圆周长：C=2πR       2、弧长：L= nπR

3、扇形面积：S=nπR2=LR

4、圆柱的侧面积  S=2πr·h （r是底面积，r是底面半径）

S表 =S侧 + 2S底=2πr·h+ 2πr2

5、圆锥的侧面积  S=L·2πr=πrL（L是母线，r是底面半径）

  S表=S侧 + S底=πrL+πr2

（2）、难点

1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算

2、弓形面积的求法：① 当弓形的弧是劣弧时 S弓形=S扇形－S▲   ② 当弓形的弧是优弧时S弓形=S扇形+S▲ 

2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用① 割补法  ② 拼凑法  ③ 等积变形法

题型三;圆锥侧面积

例1、如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的

侧面积．

解：根据条件得：圆锥母线长为10cm，所以圆锥侧

面积为：

S=πrL=π·6·10=60π

变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，

则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为     

例2、AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、

BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的

面积是（    ）

A、π－B、π                                                

C、π－             D、π

变式题：AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积是（    ）

3、已知矩形ABCD的一边AB=5cm,另一边AD=2cm，求：以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积

变式题：已知矩形ABCD的一边AB=10πcm,另一边AD=4cm，求：将BC、AD边重合后所得圆柱的体积

五、中考视窗

1、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是             (结果保留根式)．        

解、小虫爬行的最短路线的长度是=

                              =2          

2  如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．

（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？

（2）求由DG、GE和弧ED围成图形的面积（阴影部分）．

六、巩固练习

1、钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是

  （A）    （B） （C）   （D）

2、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（    ）

A．1：2    B．2：1    C．1：4   D．4：1

3、如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交 AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（   ）．

A．4－π       B．4－π        C．8－π       D．8－π

4、圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（    ）

A. 60πcm2　　　　B. 45πcm2　　　　　　C. 30πcm2　　　　D15πcm2

5、如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24 cm，AB＝25 cm．若的长为底面周长的，如图2所示．

　　(1)求⊙O的半径；）

(2)求这个圆柱形木块的表面积．(结果可保留和根号) 

弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积答案

七、 课后作业

一、填空

1.两个同心圆的半径差为5，其中一个圆的周长为15π，则另一个圆的周长为_____.

2.已知a、b、c分别是正六边形的一边、最短对角线和最长对角线，则a∶b∶c为_____.

3.已知Rt△ABC，斜边AB=13 cm，以直线BC为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____.

4.已知在同一平面内圆锥两母线在顶点最大的夹角为60°，母线长为8，则圆锥的侧面积为_____.

5.已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x2－11x+2=0的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是_____.

6.圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____.

7.要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图1，使底面半径r与母线l的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____.

8.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中(如图2).设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是_____.

图1                       图2

二、选择

9.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶a∶R等于（   ）

A.1∶2∶2   B.1∶2∶2   C.1∶2∶   D.1∶∶2

10.如图3，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中、   、      、…圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是（     ）

A.8π             B.6π             C.4π            D.2π

11.如图4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30 cm，贴纸部分BD长为20 cm，贴纸部分的面积为（    ）

A.800π cm2           B.500π cm2           C.π cm2        D.π cm2

12.已知如图5，两同心圆中大圆的半径OA、OB交小圆于C、D，OC∶CA=3∶2，则和的长度比为（）

A.1∶1             B.3∶2             C.3∶5            D.9∶25

13.如图6，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（    ）

A.S1<S2<S3            B.S2<S1<S3             C.S1<S3<S2           D.S3<S2<S1

图3                       图4                      图5                     图6

14.如图7中，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有

(1)     (2)     (3)     (4)

图7

A.(1)(2)(3)           B.(2)(3)(4)           C.(1)(3)(4)           D.(1)(2)(3)(4)

15.如果圆锥的母线长为5 cm，底面半径为3 cm，那么圆锥的表面积为

A.39π cm2          B.30π cm2          C.24π cm2          D.15π cm2

16.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如图8，放在桌面上，对桌面的压强是200 帕，翻过来放，对桌面的压强是

A.50帕           B.80帕           C.600帕           D.800帕

图8

三、基本功

17.(6分)如图9，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.

图9            图10

18.(8分)如图10，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来.(结果用π表示)

四、生活中的数学

19.(8分)铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内(以投掷圈的中心为圆心).如果运动员最多可投7 m，那么这一比赛的安全区域的面积至少应是多少？(结果精确到0.1 m2)

20.(10分)如图11，有一直径是1 m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB.

(1)被剪掉的阴影部分的面积是多少？

(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？(结果可用根号表示)

图11       图12       图13

五、探究拓展与应用(共20分)

21.(10分)现有总长为8 m的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛(如图12)，当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大？并求最大面积.

22.(10分)如图13，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由.

八、学有余力：

【基础练习】

一、填空题：

1. 在半径为5 cm的圆中，30°的圆周角所对的弧长为           ；

2. 如图3-34，⊙O的直径AB垂直于弦CD，若AB = 4 cm，则（+）的长等于         ；

3. 已知扇形的半径为3 cm，面积为6πcm2，则该扇形的弧长等于         .

二、选择题：

1. 如图3-35，矩形ABCD中，AB = 1，AD = ，以BC的中点E为圆心的弧与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积为（     ）；

A.           B.           C.           D.

2. 已知：如图3-36，扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C是OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切，则图中阴影部分的面积为（     ）.

A. 6π          B. 10π          C. 12π          D. 20π

三、解答题：

1. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为20πcm，求扇形的面积（精确到1cm2）

2. 已知：如图3-37，⊙O是等边△ABC的外接圆，且其内切圆的半径为2 cm，求△ABC的边长及扇形AOB的面积.

【综合练习】

1. 如图3-38，两个半圆中，大半圆的弦CD 与直径AB平行且与小半圆相切，已知CD = 4 cm，求图中阴影部分的面积.

2. 如图3-39，⊙O的直径EF = 10 cm，弦AB = 6 cm，CD = 8 cm，且AB∥EF∥CD，求由线段AE、BE和组成的图形及由线段CF、DF和组成的图形（图中阴影部分）面积的和.

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