初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.4 圆周角精品课时训练

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第2章 对称图形----圆
2.4 圆周角
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课程标准
课标解读
1.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。
2.了解并证明圆周角定理及其推论∶圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
1．熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用；
2.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。
3．掌握圆内接四边形的对角互补。

知识精讲

知识点01 圆周角
1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　
2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．


【微点拨】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
【即学即练1】如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【解析】解： ∠BOC＝130°，点A在上，
∴ ∠BAC=12∠BOC=65°
故选B
知识点02 圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
【即学即练2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（       ）．

A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
能力拓展

考法01 圆周角
【典例1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；


【解析】(1)∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
考法02 圆内接四边形
【典例2】如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．

【解析】证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
分层提分

题组A 基础过关练
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C的度数为（　　）

A．110° B．120° C．135° D．140°
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=40°，
∴∠C=180°-∠A=140°，
故选D．
2．同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵弧所对的圆心角为80°，
∴这条弧所对的圆周角度数=×80°=40°．
故选：A．
3．如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合），连接．若，则的度数不可能为（        ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝150°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝30°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有A满足题意．
故选：A．
4．如图，是的外接圆，，，则的半径为（       ）

A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】解：如图，连接AO、CO，

∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OC，，
∴，
解得：OA=2，即的半径为2．
故选：B
5．如图，点A，B，C在上，，则________度．

【答案】31
【解析】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
6．四边形ABCD内接于，若，则的度数为_______．
【答案】120°
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°=120°，
故答案为：120°．
7．如图，在⊙O中，点C为优弧ACB上的一点，，则∠C=_______．

【答案】
【解析】∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴，
故答案为：．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．

【答案】2
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°，
∴OC=2CE=2．
故答案为：2．
9．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．

【答案】
【解析】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴。
10．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

【答案】BD=CD，见解析
【解析】解：BD=CD，
理由是：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°即AD⊥BC，
又∵AC=AB，
∴BD=CD；

题组B 能力提升练
1．下列说法错误的是（       ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（       ）

A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OB，

∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
⊙O的半径是3，
故选：C．
3．如图，点A、B、C在上，∠ABO=36°，则∠ACB的度数为（            ）

A．27° B．36° C．54° D．108°
【答案】C
【解析】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接OE，如图所示：

∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
5．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是__．

【答案】
【解析】解：如图，连接BD，

∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝25°，
∴∠B＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°（同弧所对的圆周角相等）．
故答案为：65°．
6．如图，是的直径，的长为8，点D在圆上，且，则弦的长为______．

【答案】4
【解析】连接OC，如图

∵，
∴，
∵AO=CO，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=AO，
∵AB是直径，且AB=8cm，
∴cm，
故答案为：4．
7．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC边的中点O为圆心， BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连结PD，PE，则∠DPE=______．
【答案】170°或10°
【解析】解：连接OD，OE，
∵∠A=80°，AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-80°）=50°，
∵OD=OB=OC=OE，
∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=50°，
∴∠BOD=∠COE=80°，
∴∠DOE=20°，
当点P在优弧DBE上时，∠DP1E=∠DOE=10°，
当点P在劣弧DE上时，∠DP2E=180°-∠DP1E=170°，
∴∠DPE=170°或10°，
故答案为：170°或10°．

8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC＝DE．
(1)求证：∠A＝∠AEB；
(2)如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．

【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠A＝∠AEB；
(2)解∶∵DC⊥OE，
∴DF＝CF，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
又DE＝DC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
又∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形．
9．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．

【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】(1)证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
题组C 培优拔尖练
1．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（          ）

A．85° B．60° C．65° D．55°
【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠BDC=∠CAB=60°，
故选：B．
2．已知，如图，点A，B，C三点都在上，，，若的面积为2，则⊙的半径为（       ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】解：连接OA、OB、OC，
∵，，
∴，，
∵OB=OC，
∴，
∵，
∴，
∴OA∥BC，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故选：B．

3．如图，点、分别是上直径异侧的两点，且，连接、、，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接BC，如图，

∵，
∴∠CBA=2∠CAB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=60°，
∵∠APC=∠ABC，
∴∠APC=60°，
故选：D．
4．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（　　）

A．18° B．21° C．22.5° D．30°
【答案】D
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵，
∴∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=30°，
∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，
∴AH=CH=HG，
∴∠CAH=∠ACE=30°，
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠CBF=30°，
故选：D．
5．如图，四边形ABCD是的内接四边形，BE是的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为_______．

【答案】25°
【解析】解：四边形ABCD是的内接四边形，∠BCD＝115°，

连接DE，



BE是的直径，


故答案为：．
6．如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．

【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴点P在在△APB的外接圆上，
若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，

设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面积的最大值为．
故答案为：．
7．如图，是的弦，，点是优弧上的动点，，连接，，是的中线，
（1）若，则______；
（2）的最大值______

【答案】     2    
【解析】解：（1）如图，延长交于点D，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得．
故答案为：2

（2）如图，连接、，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵点P是优弧上的动点，是的中线，
∴，，
即，
当为的直径时最大，此时，
即
∴的最大值为．
故答案为：

8．已知⊙O，请用尺规完成下面作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)如图①，在上作一个45°的圆周角；
(2)如图②，在上作一个60°的圆周角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】(1)如图所示，即为所未作：

(2)如图所示，即为所未作：

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．

(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
【答案】(1)见解析；(2)10
【解析】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
(2)解：连接OA，OD，如图，

∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
10．如图，在⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为M，F是上的一点，且，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．

【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(2)如图，连接，

，
，
，
，
，
在中，，
由（1）得，，
是等腰三角形，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
11．如图，CD与EF是⊙O的直径，连接CE、CF，延长CE到A，连接AD并延长，交CF的延长线于点B，过点F作⊙O的切线交AB于点G，点D是AB的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．

【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：连接DE，
∵CD和EF都是⊙O的直径，
∴∠DEA=∠ECF=90°，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠ADE=∠CDE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠CDE，
∴∠ADE=∠OED，
∴；

(2)连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴FC=DE，DE∥BC，
∴，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵AB=2CD=5，AC=3，
∴，
∴FC=2．

是的切线，