初中数学苏科版九年级上册3.4 方差优秀课后复习题

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第3章 数据的集中趋势和离散程度
3.4 方差
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课程标准
课标解读
1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征；
2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．
1. 了解方差的定义和计算公式。
2.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
知识精讲

知识点01 极差
一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差＝最大值－最小值.
【微点拨】
（1）极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.
（2）一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.
【即学即练1】一组数据1，﹣1，2，5，3的极差是（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据极差的定义，最大值减去最小值即可求得．
【详解】解：由题意可知，极差为5-（-1）=6．
故选：A．
知识点02 方差
在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用它们的平均数来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　
【微点拨】
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
【即学即练2】某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了5名同学，并将所得数据整理如表：
学生编号
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
□
8
表中有一个数字被污染后而模糊不清（该处用□表示），但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（       ）
A．1.5，4 B．2，4 C．2，6 D．6，6
【答案】C
【分析】根据中位数和方差的定义求解即可．
【详解】解：∵这组数据的平均数为6，
∴模糊不清的数是：6×5﹣7﹣5﹣4﹣8＝6，
将数据重新排列为4、5、6、7、8，
所以这组数据的中位数为6，
则这组数据的方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2]＝2；
故选：C．
能力拓展

考法01 根据方差判断稳定性
【典例1】开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要．某学校在党员教师中开展了学习党史知识竞赛，将参赛的甲，乙两组党员教师成绩（单位：分）整理如下：
整理数据：
甲组：6，6，9，7，9，10，9．
乙组：7，6，10，5，9，9，10．
分析数据：

平均数
中位数
众数
甲组
8
b
c
乙组
a
9
9和10
(1)表中的___，______，_____；
(2)已知甲组教师成绩的方差为，请计算乙组教师成绩的方差，并说明哪组教师的成绩更稳定？
【答案】(1)8，9，9
(2)，甲组教师成绩的方差较小，成绩更为稳定
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数和方差的意义求解即可．
【解析】（1）将甲组数据重新排列为6、6、7、9、9、9、10，∴甲组数据的中位数为9，众数为9，乙组数据的平均数为，故答案为：8、9、9；
（2）．             ，甲组教师成绩的方差较小，成绩更为稳定．
考法02 运用方差做决策
【典例2】省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如下表：
队员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
7
10
10
9
9
乙
10
8
9
8
10
9
(1)分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
(2)你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)选择乙，见解析
【分析】（1）先计算出数据的平均数，再计算方差，即可得到答案；
（2）根据方差和平均数两者进行分析．
【解析】（1）解：；；；．
（2）解：∵，；∴选择乙．

分层提分

题组A 基础过关练
1．某店专营某品牌运动鞋，该店老板统计了一周内不同尺码的运动鞋的销售量如图，如果每双鞋的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的（       ）

A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】C
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数．
故选：C．
2．在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（       ）
A．数据得个数和平均数 B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差 D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据方差计算公式即可进行判断．
【详解】根据方差计算公式可得：10表示的意义是数据的个数，20表示的意义是平均数，
故选：A．
3．甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，则这5次测试成绩最稳定的是（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，
∴，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
4．小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的中位数和方差分别为（　　）
A．90，66 B．90，13.2 C．89，66 D．89，13.2
【答案】D
【分析】根据中位数的定义，方差计算公式求解即可．
【详解】解：五个数从小到大为84，87，89，90，95，
∴中位数为89．
平均数=（84+87+89+90+95）=89，
∴S2= [（89-84）2+（89-87）2+（89-89）2+（89-90）2+（89-95）2]=13.2，
故选：D．
5．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：

甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
【答案】甲
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【详解】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，
故答案为：甲．
6．甲、乙两名射击选手十次射击成绩的方差分别是 ，你认为________（填甲或乙）的成绩比较稳定．
【答案】乙
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙．
7．为了考察甲、乙两块试验田中小麦的长势，随机从这两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度、整理数据后，发现甲、乙两块试验田麦苗的平均高度相同，方差，，则这两块试验田中小麦长势比较整齐的是______试验田．
【答案】甲
【分析】根据方差越大，越不稳定，即可求解．
【详解】解：∵甲、乙两块试验田麦苗的平均高度相同，方差，，
∴，
∴这两块试验田中小麦长势比较整齐的是甲试验田．
故答案为：甲.
题组B 能力提升练
1．一组数据的方差计算公式，则该方差计算公式中的值是（       ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】由方差的计算公式得出这组数据，再根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，这组数据为1、2、3、3，
∴公式中，
故选：B．
2．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（分）
9.5
9.5
9.2
9.2
方差
3.6
7.4
3.6
7.4
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据平均数反映了成绩的好差，方差反映数据的稳定性．选择成绩好且发挥稳定，选择平均数大，方差小的选手，即可．
【详解】∵平均数：，方差：，选择平均数大，方差小的值
∴选择甲．
故选：A．
3．将数据、、、、、的每一个数据都增加，则下列说法中错误的是(    )
A．平均数增加 B．中位数增加 C．有众数则增加 D．方差增加
【答案】D
【分析】根据题意可得一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，中位数改变，众数改变，再分别求出原数据和新数据的方差和平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵数据a、b、e、d、e、f的每一个数据都增加5，
∴中位数增加5，有众数则增加5，故B、C正确，不符合题意；
根据题意得：新数据为：a+5，b+5，e+5，d+5，e+5，f+5，
原数据的平均数为，
∴，
∴新数据的平均数为

，
即平均数增加5，故A正确，不符合题意；
原数据的方差为，
新数据的方差为 ，
∴方差不变，故D错误，符合题意；
故选：D．
4．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（       ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
【答案】B
【分析】先根据方差的计算公式可得这组样本数据为，再根据中位数的定义、平均数的计算公式即可得．
【详解】解：由题意得：这组样本数据为，
则该样本的中位数为，
平均数为，
故选：B．
5．袁隆平院士工作站暨赣南革命老区石城红米科研示范基地已经于2021年正式启动.首期选择6块条件相同的试验田，同时播种甲、乙两种红米并核定亩产，结果甲、乙两种红米水稻的平均产量均为亩，方差分别为，，则产量稳定适合推广的品种为______.
【答案】甲
【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．
【详解】解：甲、乙两种红米水稻的平均产量均为亩，方差分别为，，
，
产量稳定适合推广的品种为甲，
故答案为：甲．
6．某校要从甲、乙两名同学中选取一名成绩稳定的同学去参加数学竞赛，已知五次模拟测试中统计所得的信息为＝115，S甲2＝12，＝115，S乙2＝36，则应选择____参加竞赛．
【答案】甲
【分析】比较两人的平均数和方差，方差越小，成绩越稳定，反之，方差越大，成绩越不稳定．
【详解】解：∵＝＝115，S甲2＝12＜S乙2＝36，
∴甲、乙的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，
∴应该选择甲同学参加竞赛，
故答案为：甲．
7．数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是_________，___________．
【答案】     5     3
【分析】由于数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的每个数比原数据大1，则新数据的平均数比原数据的平均数大1；由于新数据的波动性没有变，所以新数据的方差与原数据的方差相同．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数是4，
∴
∴   
∴数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数为5，
∵数据x1，x2，x3，x4的方差是3，
∴
∴
∴数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差为3．
故答案为5，3．
8．甲、乙两台机床在相同的条件下，同时生产一种直径为10mm的滚珠．现在从中各抽取100个进行检测，结果这两台机床生产的滚珠平均直径均为10mm，但，，则______机床生产这种滚珠的质量更稳定．
【答案】乙
【分析】根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产这种滚珠的质量更稳定．
【详解】解：∵这两台机床生产的滚珠平均直径均为10mm，S2甲＞S2乙，
∴乙机床生产这种滚珠的质量更稳定．
故答案为：乙．
9．我市农科院培育了A，B两个新品种的桃树，在口感相同的情况下，农科院希望选育出个大品相好的品种．科研人员从两个品种的桃树上分别抽取了个桃子，然后再分别从中随机抽取了个桃子，记录了它们的质量（单位：克）如下：
品种桃子










品种桃子










(1)根据表中数据，可得个A品种桃子质量的中位数、众数、平均数都是，求个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是多少？
(2)在（1）的条件下，农科院可选育哪个品种的桃子？说出你的理由．
(3)根据表中数据可得A，B桃子质量的方差分别为，，根据桃子质量的稳定性，农科院应选育哪个品种的桃子？
【答案】(1)个B品种桃子的质量的中位数、众数、平均数分别是克，克，克
(2)选育B品种桃子，理由见解析
(3)农科院应选育B品种桃子
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
（2）比较两种桃子的中位数、众数和平均数即可解答；
（3）根据方差的定义判断即可．
【解析】（1）解：将B品种桃子的10个数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，，，∵第5个和第6个数据分别是，，∴中位数是（克），∵出现次数最多，∴众数是（克），平均数是（克）．∴10个B品种桃子的质量的中位数、众数、平均数分别是克，克，克．
（2）农科院可选育B品种桃子，理由如下：在A，B两种桃子的中位数、众数都是75克的情况下，B品种桃子质量的平均数高于A品种桃子质量的平均数，所以选育B品种桃子．
（3）∵，，∴．∴农科院应选育B品种桃子．
10．八（1）班组织了一次食品安全知识竞赛，甲，乙两队各5人的成绩（10分制）如表所示．
甲
8
10
9
6
9
乙
10
8
9
7
8
(1)甲队成绩的中位数是_________分，乙队成绩的众数是________分；
(2)分别计算甲队、乙队的方差，并判断哪队的成绩更稳定？为什么？
【答案】(1)9，8
(2)乙队更稳定，理由见解析
【分析】（1）把甲队成绩由高到低排列为：10，9，9，8，6，找出中间的那个数即为中位数；找出乙队数据中出现次数最多的数即为众数；
（2）先根据方差的计算公式分别求出甲队、乙队的方差，再进行比较，方差越小，成绩越稳定．
【解析】（1）解：甲队成绩由高到低排列为：10，9，9，8，6，由此可知甲队成绩的中位数是9分．乙队成绩中8出现的次数最多，所以乙队成绩的众数是8分．故答案为：9，8；
（2）解：=（8+10+9+6+9）=8.4，甲队的方差为： [（8-8.4）2+（10-8.4）2+（9-8.4）2+（6-8.4）2+（9-8.4）2]=1.84，=（10+8+9+7+8）=8.4，乙队的方差为： [（10-8.4）2+（8-8.4）2+（9-8.4）2+（7-8.4）2+（8-8.4）2]=1.04；1.04＜1.81，所以乙队的成绩更稳定．
题组C 培优拔尖练

1．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：

甲
乙
丙
丁

9
8
9
9

1.6
0.8
2
0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　　）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【答案】A
【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【详解】解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故选：A．
2．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（　　）
A．平均数是4.4 B．中位数是4.5
C．众数是4 D．方差是9.2
【答案】A
【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
【详解】解： A、平均数为＝4.4，故选项正确，符合题意；
B、中位数为5，故选项错误，不符合题意；
C、将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，故选项错误，不符合题意；
D、方差为[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．已知一组数据a，b，c的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（　　　）
A．10，4 B．7，4 C．3，1 D．7，1
【答案】B
【分析】根据数据，，的平均数为7可知，据此可得出的值；再由方差为4可得出数据，，的方差．
【详解】解：∵数据，，的平均数为10，
∴，
∴，
∴数据，，的平均数是4；
∵数据，，的方差为4，
∴，
方差．
故选：B．
4．射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差______0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
【答案】大于
【分析】计算小东这11次成绩的方差后比较即可．
【详解】解：小东这11次成绩的的平均成绩为（8.1×10＋10）÷11＝≈8.27，
小东这11次成绩的的方差S2＝×[2×（7.5−8.27）2＋2×（8−8.27）2＋2×（8.5−8.27）2＋2×（7−8.27）2＋2×（10−8.27）2＋（9−8.27）2]≈1.02，
即1.02＞0.79，
∴小东这11次成绩的方差大于0.79，
故答案为：大于．
5．随着北京冬奥会的成功举办，越来越多的人喜欢上冰雪运动．为了解当地一家滑雪场的经营情况，小聪对该滑雪场自2022年1月31日至2月13日共两周的日接待游客数（单位：千人）进行了统计，并绘制成下面的统计图．

根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①按日接待游客数从高到低排名，2月6日在这14天中排名第4；
②记第一周，第二周日接待游客数的方差分别为S12，S22，则S12＞S22；
③这14天日接待游客数的众数和中位数都是2.0千人．
其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】①②
【分析】①根据统计图数据判断即可；②根据数据的波动情况判断即可；③根据众数和中位数的定义判断即可．
【详解】解：①按日接待游客数从高到低排名，2月6日在这14天中排名第4，说法正确；
②记第一周，第二周日接待游客数的方差分别为S12，S22，则S12＞S22，说法正确；
③这14天日接待游客数的众数为2.0千人，中位数为1.90千人，原说法错误．
所以正确结论的序号是①②．
故答案为：①②．
6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
【答案】1
【分析】根据方差的变化规律可得：数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是，再进行计算即可．
【详解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是:，
∴另一组数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是:，
∴另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是:；
故答案为：．
7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
【答案】1
【分析】根据方差的变化规律可得：数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是，再进行计算即可．
【详解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是:，
∴另一组数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是:，
∴另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是:；
故答案为：．
8．2022年5月25、26日国家实施义务教育质量监测．监测部门从某校八年级全体学生中任意抽取40名学生，平均分成甲、乙两个小组参加艺术测试．根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩
7
8
9
10
人数
3
9
3
5

请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)____________，甲组成绩的众数是____________；乙组成绩的中位数是____________．
(2)请你计算出甲组的平均成绩．
(3)已知甲组成绩的方差，乙组的平均成绩是8.5，请计算出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更均衡？
【答案】(1)3，8，8
(2)8.5
(3)0.75；乙更均衡
【分析】（1）根据统计表、中位数和众数的定义即可确定；
（2）根据平均数的计算方法运算即可；
（3）计算出乙组的方差，再比较甲、乙两组的方差大小即可．
【解析】（1）解：m＝20－2－9－6＝3；有统计表可知：甲组成绩的众数是8；乙组的中位数是第10，11位数的平均数，由图可知是8；
（2）甲组平均成绩为：；
（3）∵∴∴乙更均衡．
9．为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：

班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲班
83.7
82

46.21
乙班
83.7

86
13.21
(1)两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．
(2)根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．
【答案】(1)见解析；
(2)答案见解析（答案不唯一）
【分析】（1）将乙班成绩重新排列，根据中位数的定义可得甲班成绩的中位数，根据众数的定义可得甲班成绩的众数；
（2）从方差、众数、中位数及平均数的意义求解即可．
【解析】（1）解：甲班成绩为：72，76，81，81，81，83，87，89，91，96，甲班成绩出现次数最多的是81分，出现3次，所以甲班成绩的众数为81分，将乙班成绩重新排列为：75、81、82、83、84、85、86、86、86、89，所以乙班成绩的中位数为（分）；补充完整如下：
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲班
83.7
82
81
46.21
乙班
83.7
84.5
86
13.21
（2）解：①因为甲班学生成绩的方差大于乙班学生成绩的方差，所以乙班学生的成绩相对整齐；②因为甲班与乙班的平均成绩相同，所以两班的平均水平相同．