数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀达标测试
展开第27课 空间点、直线、平面之间的位置关系
课程标准 | 课标解读 |
1.了解空间中两直线间的位置关系.2.理解空间中直线与平面的位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系.
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知识点01 空间中两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
【即学即练1】
反思感悟
知识点02 直线与平面的位置关系
位置关系 | 直线a在平面α内 | 直线a在平面α外 | |
直线a与平面α相交 | 直线a与平面α平行 | ||
公共点 | 有 公共点 | 公共点 | 公共点 |
符号表示 | a⊂α | a∩α=A | a∥α |
图形表示 |
【即学即练2】
知识点03 平面与平面的位置关系
位置关系 | 两平面平行 | 两平面相交 |
公共点 | 没有公共点 | 有无数个公共点(在一条直线上) |
符号表示 |
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图形表示 |
【即学即练3】
反思感悟
考法01 两直线的位置关系
【典例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
反思感悟 判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
【变式训练】 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
考法02 直线与平面的位置关系
【典例2】(多选)若a,b表示直线,α表示平面,则以下命题中假命题是( )
A.若a∥b,b⊂α,则a∥α
B.若a∥α,b∥α,则a∥b
C.若a∥b,b∥α,则a∥α
D.若a∥α,b⊂α,则a∥b或a与b异面
反思感悟 在判断直线与平面的位置关系时,三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏,另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,便于作出正确判断,避免凭空臆断.
【变式训练】若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
考法03 平面与平面的位置关系
【典例3】(多选)以下四个命题中,正确的有( )
A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行,那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交
【变式训练】 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
题组A 基础过关练
一、单选题
1.不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行,则这两个三角形( )
A.一定是全等三角形 B.一定是相似但不全等的三角形
C.一定是相似或全等的三角形 D.可能不全等或相似
2.异面直线指的是( )
A.两条不相交的直线 B.两条不平行的直线
C.不同在某个平面内的两条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线
3.若是两相交平面外的任意一点,则过点( )
A.有且仅有一条直线与都平行 B.有且仅有一条直线与都垂直
C.有且仅有一条直线与都相交 D.以上都不对
4.已知,为两条不同的直线,,,为三个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,则
B.若,,且,则
C.若,,,,则
D.若,,,则
5.已知是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,则下列命题正确的是( )
A.若且,则 B.若且,则
C.若且,则 D.若且,则
6.正方体的棱长为2,E是棱的中点,则平面截该正方体所得的截面面积为( )
A.5 B. C. D.
二、多选题
7.设有下列四个命题:
:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
:若直线平面,直线平面,则.
则上述命题中( )是真命题.
A. B. C. D.
8.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法中正确的是( )
A.直线与直线共面 B.直线与直线异面
C.直线与直线共面 D.直线与直线异面
三、填空题
9.若正方体的棱长为1,则异面直线与之间的距离为___________.
10.直线与直线为两条异面直线,已知直线,那么直线与直线的位置关系为________.
11.如图,已知正方体的棱长为1,则直线AB和的距离为______;直线和的距离为______;直线和的距离为______.
12.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为,圆锥顶点到直线的距离为,和圆锥的轴的距离为,则该圆锥的侧面积为___________.
四、解答题
13.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系有哪些情况,并画图表示.
14.如图,在空间四边形中,,M,N分别是,的中点.若异面直线与所成的角为,求的长.
15.如图,在正方体中,N为底面ABCD的中心,P为线段上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点.判断下列结论是否成立,并说明理由.
(1)CM与PN是异面直线;
(2);
(3)过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形.
题组B 能力提升练
一、单选题
1.如图,在三棱锥中,E,F,G分别是的中点.若,则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
2.一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面
3.在正方体中,为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.如图,将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面,则异面直线AK和LM所成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
6.如图, 在正方体中, 点分别为的中点, 设过点的平面为, 则下列说法正确的是( )
A.在正方体中, 存在某条棱与平面平行
B.在正方体 中, 存在某条面对角线与平面平行
C.在正方体 中, 存在某条体对角线与平面平行
D.平面截正方体所得的截面为五边形
二、多选题
7.如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中( )
A.与平行 B.与垂直
C.与是异面直线 D.与成角
8.已知正方体,P是棱的中点,以下说法正确的是( )
A.过点P有且只有一条直线与直线AB,都相交
B.过点P有且只有一条直线与直线AB,都平行
C.过点P有且只有一条直线与直线AB,都垂直
D.过点P有且只有一条直线与直线AB,所成角均为45°
三、填空题
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.
10.已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,为的中点,若,则侧面四边形为正方形,则异面直线与所成角的余弦值为___________.
11.已知四棱锥的底面是矩形,其中,侧棱底面,且直线与所成角的余弦值为,则四棱锥的外接球体积为___________.
12.已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件:___________.
四、解答题
13.如图,正四棱柱的底面边长为1,异面直线AD与BC1所成角的大小为60°,求A1B1到底面ABCD的距离.
题组C 培优拔尖练
1.如图是无盖正方体纸盒的展开图,则原正方体中直线AB,CD所成角的大小为多少?EF与AB所成角的大小为多少?试写出你的解题过程,并说明原理?
2.如图,在正方体中,N为底面ABCD的中心,P为线段上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点.判断下列结论是否成立,并说明理由.
(1)CM与PN是异面直线;
(2);
(3)过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形.
3.在棱长为的正方体中,是的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值.
4.如图,在四面体ABCD中,E、H、F、G分别是边AB、AD、BC、CD的中点.
(1)求证:BC与AD是异面直线;
(2)求证:EG与FH相交.
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