【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第31讲 直线与直线垂直 讲义

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第31课 直线与直线垂直
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课程标准
课标解读
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角．
1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题
2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养

知识精讲

知识点01回顾两直线的位置关系
1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)画法：

2．两条直线的位置关系

3．两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.
③作用：证明空间两条直线平行．
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②作用：证明两个角相等或互补．
4．平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
【即学即练1】　若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
答案　B
解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
知识点02异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°.
【即学即练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是(　　)

A．90°B．60°C．45°D．30°
答案　A
解析　如图，连接B1G，

∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接FB1，
在△FB1G中，
B1F＝＝，
B1G＝＝，
FG＝＝，
B1F2＝B1G2＋FG2.
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
知识点03直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.
【即学即练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF.

证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.

∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
能力拓展

考法01异面直线所成的角
【典例1】如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
解　(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，

∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟　求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
【变式训练】在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
解　如图所示，取AC的中点G，

连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
考法02直线与直线垂直
【典例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.

证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1D1平行BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，

又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
反思感悟
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直．
【变式训练】如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.

证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，

∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角为∠BEF，
即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
AC′＝2，∴EF＝.
在等边三角形ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
反思感悟
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
分层提分

题组A基础过关练
一、单选题
1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)
A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行
【答案】C
【详解】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.

2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，则或其补角为所求的异面直线所成的角，利用为等边三角形可以其大小．
【详解】如图，连接，

因为，所以异面直线与所成的角为或其补角.
因为为等边三角形，所以.故选C.
【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
3．在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（    ）
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义找到AD与BC所成的角与∠FEG的关系，从而得到∠FEG的大小.
【详解】如图：

因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，
所以,
由于AD与BC是异面直线，
根据异面直线所成角的定义可知，
∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角，
因为AD与BC所成的角为60°，
所以∠FEG为60°或120°.
故选：D.
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
4．已知直线，若，则实数的值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，代入求解即可.
【详解】当时，直线的斜率，
直线的斜率不存在，此时两条直线不垂直；
当时，直线的斜率，
直线的斜率，
因为，所以，
所以，解得：.
故选：D.
5．在正方体中，与垂直的直线是（    ）
A．AB B．CD C． D．
【答案】C
【分析】证明平面,从而得到，可得答案.
【详解】连结,则为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.
为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直
由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.
在正方体中,
平面，且平面,所以
由,所以平面’
平面,所以
故选:C.

6．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．
【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，   
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
二、多选题
7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ）

A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
【答案】ABD
【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.
故选：ABD.
三、填空题
8．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)
【答案】.
【分析】用异面直线所成角的定义判断.
【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角，故两异面直线所成角的范围是.
故答案为：.
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为______
【答案】
【分析】先通过平行寻找线线角，再根据解三角形得结果
【详解】因为A1B//D1C,所以∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成角的平面角,
因为△AD1C为正三角形，所以∠AD1C，即异面直线A1B与AD1所成角的大小为
【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______．
【答案】
【分析】取中点，连接，，则异面直线和所成角为或其补角，在中使用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，取中点，连接，，
∵，分别为，中点，
∴，且，
∴异面直线和所成角为或其补角，
在等边和等边中，，
∴在中，由余弦定理，有
，
∴异面直线和所成的角的余弦值为.
故答案为：.
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________（填序号）.
【答案】③④
【分析】本题直接判断直线AM与CC1是异面直线，直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，用反证法证明直线AM与BN不平行，即可得到答案.
【详解】根据平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点的直线成异面直线，
因为平面，平面，平面，
直线不过点，所以直线AM与CC1是异面直线，
同理直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，
故①错误，③④正确；
若AM与BN是平行直线，取中点，连，
则，所以四边形是平行四边形，
则有，，这与相交矛盾，
所以不平行，故②错误.

故答案为：③④.
【点睛】本题考查异面直线，是基础题.
四、解答题
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
【答案】90°
【分析】先平移后再解三角形即可.
【详解】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
13．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.

【答案】60°
【分析】设G为AC的中点,由已知中，E、F分别是AB、CD的中点,若EF＝,根据三角形中位线定理,我们易求出为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)，解三角形EGF即可得到答案．
【详解】
如图，取AC的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，
则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.
因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
单独看△GEF的平面图，可得

在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，
所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角的大小．
【答案】90°.
【分析】利用平行线找到异面直线AC1与B1D1所成的角为∠EOB1,又B1OE为直角三角形，所以异面直线AC1与B1D1所成的角为90°.
【详解】解：如图，连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，

取A1A的中点E，连接EO，则，
∴∠EOB1为异面直线AC1与B1D1所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为2a.
在B1OE中，B1O＝B1D1＝a，
B1E＝，EO＝AC1＝a，
∵EO2＋B1O2＝B1E2，
∴B1OE为直角三角形，且∠EOB1＝90°.
∴AC1与B1D1所成的角为90°.
【点睛】
15．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.

（1）求证：平面；
（2）求证：；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】设，（1）由三棱柱中，四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理得证；（2）由三角形的边角关系得，再由面面垂直的性质定理求证；（3）由（2）中结论结合已知可证平面，再根据线面角的定义判断即为与平面所成的角，再利用正余弦定理知识求解即可.
【详解】（1）证明：设，连接，，
因为，分别为，的中点，则，，
因为为的中点，
所以，且，
所以，，
则四边形为平行四边形，
故，因为平面，平面，
故平面；
（2）证明：因为，，，
所以，即，
因为平面平面，且平面底面，
所以平面，又平面，
故；
题组B能力提升练
一、单选题
1．如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直．

以上三个命题中，正确命题的序号是（    ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案．
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确．
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确．
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确．
故选：C．
【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题．
2．在正方体中，与垂直的直线是（    ）
A．AB B．CD C． D．
【答案】C
【分析】证明平面,从而得到，可得答案.
【详解】连结,则为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.
为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直
由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.
在正方体中,
平面，且平面,所以
由,所以平面’
平面,所以
故选:C.

3．如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为；
③直线与直线可能垂直；   ④直线与直线可能垂直.
以上说法正确的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是圆；AB,AF是以BF为旋转轴的圆锥型侧面；CE,CD是以DE为旋转轴的圆锥型侧面.
【详解】由题意，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合，
故①不正确；
点与点的最大距离为正方形的对角线,
故②正确；
由于△ABF和△CDE全等，把△CDE平移使得DC和AB重合，
如图，

△ABF绕BF旋转形成两个公用底面的圆锥，AB,CD是稍大的圆锥的母线，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夹角为锐角，所以不可能垂直，
故③不正确；
同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夹角为钝角，所以可能垂直，
故④正确.
故选:C.
【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，侧重考查直观想象的核心素养.
4．正方体，、分别是正方形和的中心，则和所成的角是

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接AB1
∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，
∴EF∥AB1
∵AB∥CD
∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°
本题选择B选项.
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
5．如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱AD，故GH与IJ所成角与侧棱AD与GH所成的角相等；AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，故GH与IJ所成角的度数为60°，

故选:B．
点睛:本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．
6．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN则MN∥AD，∠CMN或其补角是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值．
【详解】如图，设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，
连结MN，CN，∵M是AB的中点，∴MN∥AD，
∴∠CMN或其补角是CM与AD所成的角，
设MN的中点为E，则CE⊥MN，在△CME中，ME，CM＝CN，
∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME.
故选C．

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
二、多选题
7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ）

A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
【答案】ABD
【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.
故选：ABD.
8．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（    ）

A． B．平面
C． D．异面.
【答案】ABC
【分析】对于选项A，建立空间直角坐标系，根据空间向量垂直，则其点乘积为零，可得答案；
对于选项B、C、D，根据中位线的性质，可得答案.
【详解】由点为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD和ADEF的边长为，如下图：

对于A选项，，，，，
则直线、的方向向量分别为，，
因为，所以，即，故A正确；
对于B选项，连接，如下图：

因为点分别为的中点，所以在中，，
因为平面，且平面，所以平面，
故B正确；
由选项B可知，故C正确；故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
9．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)
【答案】.
【分析】用异面直线所成角的定义判断.
【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角，故两异面直线所成角的范围是.
故答案为：.
10．正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于_________．

【答案】
【详解】试题分析：连接交于，异面直线与所成的角即为与所成的角，设棱长为，则，，，,所以,．
考点：异面直线所成角的余弦值．
11．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．

【答案】
【分析】首先将其还原成正方体，再用平移法找出异面直线所成角（或补角）进行求解即可.
【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：

连接、，因为A、B均为棱的中点，所以
所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），
设正方体的棱长为，在中，
，,

故答案为：.
12．已知四面体的棱都相等，G为的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】直线交于取的中点，连接，，可得∠AEF为异面直线与所成的角，再由三角函数解得.
【详解】解：设四面体的棱长为，直线交于取的中点，连接，.由题意知为的中点，所以，

所以∠AEF为异面直线与所成的角.由题意知，，则在中，
故答案为：
【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是找出线线角，属于中档题.
四、解答题
13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
【答案】90°
【分析】先平移后再解三角形即可.
【详解】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
题组C培优拔尖练
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角的大小．
【答案】90°.
【分析】利用平行线找到异面直线AC1与B1D1所成的角为∠EOB1,又B1OE为直角三角形，所以异面直线AC1与B1D1所成的角为90°.
【详解】解：如图，连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，

取A1A的中点E，连接EO，则，
∴∠EOB1为异面直线AC1与B1D1所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为2a.
在B1OE中，B1O＝B1D1＝a，
B1E＝，EO＝AC1＝a，
∵EO2＋B1O2＝B1E2，
∴B1OE为直角三角形，且∠EOB1＝90°.
∴AC1与B1D1所成的角为90°.
2．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点.

(1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；
(2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小.
【答案】(1)60°
(2)或
【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解.
（1）
如图，取AD的中点为P，连接PM､PN.

因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，，
所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）.
又，所以，即为等腰三角形.
直线AB与MN所成角为60°，即，则.
所以，直线AB与CD所成的角为60°.
（2）
（2）若直线AB与CD所成的角为，则或.
若，则，即直线AB与MN所成角为；
若，则，即直线AB与MN所成角为.
综上所述，直线AB与MN所成的角为或.
3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面.

（1）求证：；
（2）若________，求点到平面的距离.在①；②二面角的大小为60°；③，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）根据线面垂直的性质定理，可得线线垂直，再根据勾股定理逆定理又可知线线垂直，最后结合线面垂直的判定定理可得出平面，则可证明.
（2）①要求点到平面的距离，可通过等体积法求出该距离
②通过二面角确定平面角，再解三角形，算出的长，再用求出点到平面的距离.
③通过的体积大小，可求出的长，且，则可根据三棱锥的体积公式求出点到平面.
【详解】（1）证明：∵底面为平行四边形，∴，
∵在中，，
∴为直角三角形，，
又∵平面，∴，∵，∴平面，
∵平面，∴
（2）由（1）可得，∵平面，∴，
∵，∴平面，∵平面，∴，
①选条件，∴，
设点到平面的距离为，则由可得，
，解得，
即点到平面的距离为.
②选条件二面角的大小为60°，∵，
∴为二面角的平面角，∴，
，，
设点到平面的距离为，则由可得，
，解得：，
∴点到平面的距离为.
③选条件，则，∴，
∴，
设点到平面的距离为，∴，
解得，∴点到平面的距离为.