人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系习题
展开
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格工人师傅运用的数学原理是
A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面
- 已知，则直线a与直线b的位置关系是
A. 平行 B. 相交或异面 C. 异面 D. 平行或异面
- 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
A. 与是异面直线
B. 平面
C. AE，为异面直线，且
D. 平面
- 已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m，n满足，，则
A. B. C. D.
- 若直线a平行于平面，则下列结论错误的是
A. 直线a上所有点到平面的距离都相等
B. 直线a平行于平面内的所有直线
C. 平面内有无数条直线与直线a平行
D. 平面内存在无数条直线与直线a成角
- 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是
A. 与是异面直线
B. 与AE是共面直线
C. AE与是异面直线
D. AE与是共面直线
- 下列命题正确的是
A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B. 四边形确定一个平面
C. 经过一条直线和一个点确定一个平面
D. 经过三点确定一个平面
- 已知平面平面，且直线，直线，则l与m的位置关系不可能是
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面
- 直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能
- 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
A. 48 B. 18 C. 24 D. 36
- 如图所示，用符号语言可表达为
A. ，，；
B. ，，；
C. ，，，；
D. ，，，；
- 下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）
- 如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形
当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为正方形．
- 若直线平面，直线平面，且，，则a，b的位置关系是 ；若已知与相交，则a，b的位置关系是 ．
- 在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则 ，在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有 条．
- 在空间中，两个不同平面把空间最少可分成 部分，最多可分成 部分．
- 点A在直线l上，E、F在平面ABC内，用符号表示为 ．已知直线a，平面，，且，，则平面，的位置关系是 ．
- 在正方体中，棱所在直线与面对角线所在直线可以构成 对异面直线，面对角线AC所在直线与面对角线所在直线可以构成 对异面直线．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：
，C，，F四点共面；
，，DA三线共点．
- 如图在正方体中，分别是AB和的中点．求证：
四点共面；
三线共点．
- 如图，已知平面与平面相交于直线m，直线，且，直线，且证明：n，l是异面直线．
- 如图，在长方体中，，，点M，N，P，Q分别是棱，
，，CD的中点．
证明：M，N，P，Q四点共面
求三棱锥的体积．
|
- 如图，已知平面，，且，设梯形ABCD中，，且，，求证：AB，CD，l共点相交于一点．
- 用符号语言表示下列语句，并画出图形．
三个平面，，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；
平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．
根据两条相交直线确定一个平面，由此可得结论．
【解答】
解：由题意，分析可知，工人师傅运用的数学原理是：两条相交直线确定一个平面．
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，直线间的位置关系，属于基础题．
直线a，与平面平行，直线，则说明a，b没有交点，即可得答案．
【解答】
解：，
与没有公共点．
，
，b没有公共点，
，b平行或异面．
故选D．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三棱柱的结构特征，考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，属于中档题．
根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：、平面，
所以与不是异面直线，选项A错误；
因为三角形ABC是正三角形，
所以AC与AB夹角为，
则AC与平面不垂直，选项B错误；
直线AE与平面相交，
且平面，，，
与异面，
由已知，E为BC中点，
故AE，
又，
，选项C正确；
，平面，
则与平面相交，选项D错误；
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线，线面的关系，属于基础题．
根据线面，线线垂直平行的判定定理解答即可．
【解答】
解：因为，所以，
又，所以．
故选C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与平面、直线与直线的关系，属于基础题．
利用空间中线线、线面间的位置关系求解．
【解答】
解：直线a平行于平面，
直线a上的所有点到平面的距离都相等，故A正确；
直线a与平面内的直线平行或异面，故B错误；
平面内有无数条直线与直线a平行，故C正确；
平面内存在无数条直线与直线a成角，故D正确．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了异面直线的判定，属于基础题．
由已知该几何体不是正三棱柱，E是中点，由此对四个选项逐一判断即可．
【解答】
解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；
由异面直线的判定方法可知B、D错误，C正确
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了确定平面的问题，考查了平面的性质，属于基础题．
逐个选项判断即可．
【解答】
解：对于A：两两相交不共点，所以有三个不共线的交点，
根据公理，可以确定一个平面，故选项A正确；
对于如果是空间四边形，可以确定多个平面，故选项B不正确；
对于点在线上，就确定多个平面，故选项C不正确；
对于三点共线，能确定多个平面，故选项D不正确，
故选A．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查面面平行的定义和线线的位置关系，考查定义法和推理能力，属于基础题．
运用平面平行的定义和线线的位置关系，可得结论．
【解答】
解：因为平面平面，可得两平面，无公共点，即有直线l与直线m也无公共点，
所以直线l与直线m可能平行或异面，即不可能相交．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题．
利用长方体模型依次判断各选项的正误即可．
【解答】
解：如图所示，在长方体中，
AB与相交，与相交，
所以由图知；
又AD与相交，AB与相交
所以由图知AB与AD相交；
又与相交，AB与相交，
所以由图知AB与异面．
故选D．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．
根据题目中：“正交线面对”的含义的正确理解，只要找出正方体中多少对线面垂直即可，分棱和面对角线进行讨论即得．
【解答】
解：如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．
在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，
分情况讨论：对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；
所以正方体中“正交线面对”共有36个．
选D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间两条直线位置关系的符号语言，属于基础题．
结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．
【解答】
解：如图所示，两个平面与相交于直线m，直线n在平面内，直线m和直线n相交于点A，
故用符号语言可表达为，，．
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面及其推论的合理运用．
利用平面的基本性质依次分析求解即可．
【解答】
解：在中，空间共线的三个点能确定无数个平面，故不成立；
在中，一条直线和直线上的一个点能确定无数个平面，故不成立；
在中，当这两条直线是异面直线时，则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故不成立；
在中，两两相交的三条直线能确定一个或三个平面相交于一点，故不成立．
故选A．
13.【答案】
且
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的关系，属于基础题．
利用菱形的性质即可得
利用正方体的性质即可得．
【解答】
解：四边形EFGH为菱形，
，，
故AC
四边形EFGH为正方形，
且，
，且，，且，
且，
故答案是且．
14.【答案】平行或异面
平行
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判定，属于基础题．
由线面垂直关系及线面位置关系得出线线位置关系即可．
【解答】
解：直线平面，直线平面，且，，则a，b的位置关系是平行或异面；
若直线平面，直线平面，与相交，则．
故答案为平行或异面；平行．
15.【答案】
无数
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，属于中档题．
通过分析四边形是平行四边形，可得EF的长度，由空间中直线间的位置关系可判断与三条直线，EF，CD都相交的直线条数．
【解答】
解：连接，因为E，F分别为棱，的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以．
如图，在EF上任意取一点M，直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，
当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，
连接MN，直线MN与三条直线，EF，CD都有交点，
所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．
故答案为；无数．
16.【答案】3
4
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：平面的定义和性质，平面间的位置关系，主要考查学生对定义的理解和应用，属于基础题．
直接利用平面间的位置关系的应用求出结果．
【解答】
解：当两个平面互相平行时，可以把空间分成3部分，
当两个平面相交时，可以把空间分成4部分．
故答案为：3；4．
17.【答案】，平面ABC，平面ABC
平行或相交
【解析】
【分析】
本题主要考查点、线、面位置关系的符号表示，空间直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题．
根据空间中点是最基本的元素，线和面都是由点构成的集合，点与线，点与面是从属关系；
根据面面平行的判定定理可得．
【解答】
解：点A在直线l上，E、F在平面ABC内，
点线和点面都是属于关系，
，平面ABC，平面ABC；
若一个平面上的两条相交线与另一个平面都平行，
则这两条相交线所在的平面与另一个平面平行．
已知条件只有一条直线与面平行，
所以平面，的位置关系是平行或相交．
故答案为：，平面ABC，平面ABC；平行或相交．
18.【答案】6
5
【解析】
【分析】
本题考查异面直线的判定方法，属于中档题．
根据异面直线的定义解答．
【解答】
解：在正方体中，棱与各面对角线BD，，，，，所在的直线构成的异面直线共有6对；
面对角线AC与其余面对角线所在直线，，，，构成的异面直线共有5对；
故答案为6，5．
19.【答案】证明：如图，连结EF，，B.
，F分别是AB，的中点，
．
又，
，
，C，，F四点共面．
，，
与必相交，
设交点为P，如图所示．
则由，平面ABCD，
得平面ABCD．
同理平面．
又平面平面，
直线DA，
，，DA三线共点．
【解析】本题考查平面的基本性质，属于中档题．
连结EF，，，推导出，从而，由此能证明E，C，，F四点共面
推导出CE与必相交，设交点为P，推导出P是平面ABCD与平面的公共点，由此能证明CE，，DA三线共点．
20.【答案】解：连接EF，，，
分别是AB和的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，可以确定一个平面，
所以四点共面．
由得，，
所以CE与相交，即，
所以，
平面ABCD，
平面ABCD，
同理，平面，
又平面平面，
，
三线共点．
【解析】本题主要考查平面的基本性质及应用，属于中档题．
连接EF，，，得出，求得四边形为平行四边形，即可解得．
由得，，所以CE与相交，根据平面三点共线的性质即可解得．
21.【答案】证明：若n，l共面，设该平面为，
，，
，
又两，平面经过点A和直线l，
平面与重合，
由于与重合，且，
平面经过直线m和n，
与n是相交直线，
与也重合，于是与重合，这就与条件平面与平面相交于直线m矛盾，
故假设不成立。，l是异面直线．
【解析】本题考查异面直线的判定，属于中档题．
利用反证法证明直线异面．
22.【答案】证明：如图，
连接，
，Q分别是，CD的中点，，，
且，
四边形为平行四边形，
，
在中，，N分别是，的中点，，
，
，N，P，Q四点共面．
，
三棱锥的高为，
点M是棱的中点，
，
点N，P分别是棱，的中点，，，
．
．
【解析】本题考察立体几何空间点共面的证明和三棱锥求体积问题，属于中档题．
证明四点共面，转化为证明两条直线平行，从而利用两条平行线确定唯一一个平面证明．
三棱锥求体积用置换顶点的方法，来求．
23.【答案】证明在梯形ABCD中，，
，CD是梯形ABCD的两条腰，
，CD必定相交于一点，
设．
又，，
，且，
．
又，，
即AB，CD，l共点．
【解析】本题考查平面的基本性质，属于基础题．
由题意和平面的基本性质，证明AB与CD的公共点为两个平面的公共点即可．
24.【答案】 解 符号语言表示：，，，，图形表示如图．
符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示如图．
【解析】本题考查了空间中，点线面的图形与符号表示，属于基础题．
把语言描述改为图形与符号表示．
符号语言表示：，，，，图形表示如图
符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示如图．
高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系巩固练习： 这是一份高中人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000304_t7/?tag_id=28" target="_blank">8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系巩固练习</a>，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀课后复习题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀课后复习题，共3页。试卷主要包含了给出以下命题等内容，欢迎下载使用。
【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习（含解析）： 这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习（含解析），共7页。试卷主要包含了异面直线是指，下列说法正确的是，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
