初中2.4 线段、角的轴对称性优秀学案

2.4 线段、角的轴对称性（3）

【学习目标】

基本目标：

1. 会用尺规作角的平分线

2．探索了解角平分线的性质定理及其逆定理并会简单应用

提高目标：熟练运用角平分线的性质定理及其逆定理

【重点难点】

重点：利用角的轴对称性探索角平分线的性质.

难点：理解“点在角平分线上”的证明方法．

【课堂导学】

想一想：

1．画∠AOB，折纸使OA、OB重合，折痕与∠AOB有什么关系？

2．在折痕上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E，那么PD与PE有什么关系？试证明你的结论.

3.反之，如图，若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则点P与∠AOB有何关系？试证明你的结论.

【新知归纳】

    1.角是___________图形，_______________________是它的对称轴.

2.角平分线上的点到_________________________的距离相等.

符号语言：如图，

∵OP平分∠AOB，且_____________，______________

∴______________________

3.角的内部_________________________的点在角的平分线上.

符号语言：如图，

∵______________，_______________，且PD＝PE

∴______________________

【例题讲解】

例 1 如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点，⊥，⊥，⊥，垂足分别为．则

(1) 与相等吗？为什么？

(2) 点在∠ACB的平分线上吗？为什么？

例  2  尺规作图：

（1）作∠的平分线.（如图①）

（2）已知∠内有两点、.求作一点，使点到、的距离相等，且. （如图②）

图①                              图②

【课堂检测】

1.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA＝1200，则（     ）

A. DE＞DF                  B. DE＜DF    

 C. DE＝DF                  D. 不能确定DE、DF的大小.

2.如图，点P是△ABC内角∠ABC与它外角∠ACD角平分线的交点，已知P到直线BC的距离为5cm，则P到直线AB的距离是        ；到直线AC的距离是           。

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E点，若AB＝36cm，BC＝24cm，△ABC的面积为144cm2,则DE＝          cm.

第1题                       第2题                        第3题

4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．

【课后巩固】

一、夯实基础

  1．下列说法正确的是（      ）

①角平分线上的任意一点到角的两边的线段长相等；  ②角是轴对称图形；③线段不是轴对称图形； ④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

A．①②③④          B. ①②③          C. ②④          D. ②③④

2．到三角形三边的距离相等的点是三角形（     ）

A.三条边上的高线的交点             B. 三个内角平分线的交点

C.三条边上的中线的交点             D.以上结论都不对                  题3

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是              .（用含m，n的式子表示）

4．利用网格线作图.

（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC.

5.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，那么点D在∠A的平分线上吗？请说明理由.

二、加深理解

6．如图，点D，P在∠ABC的平分线上，PA⊥AB，PC⊥CB.

则AD=CD,∠ADB=∠CDB吗？为什么?

三、拓展延伸

7.如图，已知BP,CP是△ABC的外角平分线，则点P必在∠BAC的平分线上，为什么？