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    苏教版数学八年级上册 2.4线段、角的轴对称性(2)【课件】
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    初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性课文配套ppt课件

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    这是一份初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性课文配套ppt课件,共19页。PPT课件主要包含了探究角平分线的性质,你能证明这个结论吗,不必再证全等等内容,欢迎下载使用。

    (1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
    (2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等.
    同学甲、乙谁的画法是正确的?
    按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE,PF ,并度量所画PE,PF是否等长?
    议一议:由折一折和画一画你可得到什么猜想?
    已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE.证明:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠1=∠2,∠PDO=∠PEO=90°. 又∵OP=OP, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
    角平分线上的点到角两边的距离相等.
    定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
    ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
    ∵ 如图,AD平分∠BAC(已知),
    ∴ = ,( )
    ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知),
    ∴ = .( )
    角平分线上的点到角两边的距离相等
    反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢? (前提条件)
    已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,点D,E为垂足,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.
    已知:在∠AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足且PD=PE,求证:点P在∠AOB的角平分线上.
    证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中,    OP=OP,PD=PE,   ∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL).   ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) . ∴点P在∠AOB的角平分线上.
    判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
    ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
    这样,我们又可以得到一个结论:
    梦想成真
    思考: 要在S区建一个集贸市场.(1)使它到公路,铁路距离相等,如何设计?(2)它到公路,铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米,应建在何处?(比例尺 1:20 000)
    例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.
    证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC ,DE =DF,∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30.在Rt△ADE中,∵∠AED=90°,AD=10,∴DE= ½ AD= ½ ×10=5 .
    例2 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF.
    证明:∵AD平分∠CAB,   DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ DE = DF(角平分线的性质). 在Rt△BDE和Rt△CDF中,   DE=DF (已证), BD=CD(已知), ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ BE=CF (全等三角形对应边相等).
    例3 已知:如图,在△ABC中,BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF.求证:AD是∠BAC的角平分线.
    证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠DEB=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中,   BE=CF (已证), BD=CD(已知), ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴DE = DF(全等三角形对应边相等). 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ 点D在∠A的角平分线上,即AD是它的角平分线.
    例4 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求: AD与EF关系.
    证明:∵AD平分∠CAB ,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE = DF(角平分线的性质),∠DAE=∠DAF. ∵∠DEB=∠CFD=90°, ∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线. ∵DE = DF, AD是∠EDF的角平分线, ∴AD垂直平分EF(三线合一).
    如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4 cm,则点P到边BC的距离为    cm. 
    解:如图,作PF⊥BC于点F.∵PE⊥BA于点E,BD平分∠ABC,∴PF=PE=4 cm.
    如图,已知△ABC中,BD=CD,∠1=∠2,求证:AD平分∠BAC.
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