高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图精品一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图精品一课一练，共9页。

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形在直观图中仍然是正方形
D．平行的线段在直观图中仍然平行
3．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是( )
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
4．如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
5．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图，则正确的图形是( )
6．如图，∠A′O′B′是用斜二测画法画出的∠AOB直观图，则∠AOB是( )
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．无法判断
7．如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状(四边形ABCD)为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
8．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )
关键能力综合练
1．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，已知A′O′＝B′O′＝O′E′＝C′E′＝D′E′＝1，则四边形ABCD的周长为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
2．如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O′为坐标原点，顶点A′、B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′的长度为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，在等边△ABC中，BC＝4，若△ABC的直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )
A． eq \r(6)B．2 eq \r(6)
C．4 eq \r(6) D．8 eq \r(6)
4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′如图所示，若O′B′＝1，那么原△ABO的面积是( )
A. eq \f(\r(2),2) B． eq \r(2)C．2 eq \r(2) D．4 eq \r(2)
5．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝1，则△AOB的边OB上的高为( )
A．4 eq \r(2) B．2 eq \r(2)C．4 D．2
6．(多选)如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则( )
A．A′D′＝ eq \r(2)
B．BC＝2 eq \r(2)
C．四边形ABCD的周长为6＋2 eq \r(2)＋2 eq \r(3)
D．四边形ABCD的面积为6 eq \r(2)
7．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴且2A′C′＝B′C′＝2，则△ABC的周长为________．
8．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为2的正方形，则原平面四边形的面积为________．
9．画出底面边长为3 cm、高为4.5 cm的正三棱柱的直观图．
10．如图，梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图．若A1D1平行于y轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝ eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，求梯形ABCD的面积．
核心素养升级练
1．已知菱形的边长为4 cm，一个内角为120°，将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为( )
A．2 eq \r(6) cm2 B． eq \r(6) cm2
C．8 eq \r(3) cm2 D．4 eq \r(3) cm2
2．用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△A′B′C′，其中O′B′＝B′C′＝2，A′B′＝A′C′＝ eq \r(2)，则△ABC的面积为( )
A.1 B．2C．2 eq \r(2) D．4 eq \r(2)
3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形的周长为________．
8．2 立体图形的直观图
必备知识基础练
1．答案：B
解析：根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以错误的是B.故选B.
2．答案：D
解析：选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，错误．选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故错误．选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，错误．选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，正确．故选D.
3．答案：C
解析：对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故错误；对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故错误；对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故正确；对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故错误．故选C.
4．答案：B
解析：根据题意，AB⊥AC，AC＝2AB，所以△ABC是直角三角形．故选B.
5．答案：A
解析：先作出一个正三角形A1B1C1，
然后以B1C1所在直线为x轴，以B1C1边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
画对应的x′，y′轴，使夹角为45°，
画直观图时与x轴平行的直线的线段长度保持不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选A.
6．答案：C
解析：根据斜二测画法的规则，将直观图∠A′O′B′还原为平面图如图所示，
所以∠AOB是钝角．
故选C.
7．答案：D
解析：由∠B′A′D′＝45°，得∠BAD＝90°，由边的平行关系可知，原图形为矩形，故选D.
8．答案：C
解析：由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴．
故选C.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：由斜二测画法得原图为矩形ABCD.
在原图矩形ABCD中，AB＝BC＝2，所以四边形ABCD的周长为8.
故选B.
2.
答案：B
解析：画出△AOB的原图为直角三角形，且OA＝O′A′＝6，
因为 eq \f(1,2)OB×OA＝12，所以OB＝4，
所以O′B′＝ eq \f(1,2)OB＝2.
故选B.
3．答案：A
解析：依题意，在△ABC中，OA＝2 eq \r(3)，
由斜二测画法规则知：B′C′＝BC＝4，O′A′＝ eq \f(1,2)OA＝ eq \r(3)，O′是B′C′的中点，∠A′O′C′＝ eq \f(π,4)，
所以△A′B′C′的面积S＝2S△A′O′C′＝2× eq \f(1,2)O′C′×O′A′sin eq \f(π,4)＝2× eq \r(3)× eq \f(\r(2),2)＝ eq \r(6).
故选A.
4．答案：B
解析：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，
所以△ABO的底OB＝O′B′＝1，斜边A′O′＝ eq \r(2)，
则三角形ABO为直角三角形，高OA＝2A′O′＝2× eq \r(2)＝2 eq \r(2).
所以直角△ABO的面积是 eq \f(1,2)×1×2 eq \r(2)＝ eq \r(2).
故选B.
5．答案：B
解析：设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2 eq \r(2)S直观图，所以 eq \f(1,2)×OB×h＝2 eq \r(2)× eq \f(1,2)×O′B′×1，又OB＝O′B′，所以h＝2 eq \r(2).
故选B.
6．答案：ACD
解析：由已知等腰梯形中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2C′D′＝4，所以A′D′＝ eq \r(2)，
由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，AD＝2 eq \r(2)，∠BAD＝ eq \f(π,2)，易得BC＝2 eq \r(3)，
所以四边形ABCD的周长为6＋2 eq \r(2)＋2 eq \r(3)，面积为 eq \f(2＋4,2)×2 eq \r(2)＝6 eq \r(2).
故选ACD.
7．答案：4＋2 eq \r(2)
解析：先由斜二测画法得AC⊥BC，AC＝BC＝2，即可求解．
由题意得，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，
则AB＝ eq \r(4＋4)＝2 eq \r(2)，则△ABC的周长为2＋2＋2 eq \r(2)＝4＋2 eq \r(2).
8．答案：8 eq \r(2)
解析：不妨设正方形A′B′C′D′的边长为2，A′B′＝2，A′C′＝2 eq \r(2)且∠B′A′C′＝45°，如图所示：
则在原平面图形中，AB⊥AC且AB＝2，AC＝4 eq \r(2)，易知四边形ABCD为平行四边形，
因此，平面图形ABCD的面积为S＝AB·AC＝8 eq \r(2).
9．解析：一、画轴，如图：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使得∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；
二、画底面，以O为中点，在y轴上取AB＝3 cm，在x轴正半轴上截取OC＝ eq \f(1,2)×3×cs 30°＝ eq \f(3\r(3),4)cm，连接AC，BC，则△ABC就是正三棱柱的底面；
三、画侧棱，过点A，B，C分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5 cm长的线段AA1，BB1，CC1；
四、成图，顺次连接A1，B1，C1，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，即得正三棱柱的直观图．
10．解析：如图，根据直观图画法的规则，
直观图中A1D1平行于y轴，A1D1＝1，⇒原图中AD∥Oy，
从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2，
直观图中A1B1∥C1D1，A1B1＝ eq \f(2,3)C1D1＝2，⇒原图中AB∥CD，AB＝ eq \f(2,3)CD＝2，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积S＝ eq \f(1,2)×(2＋3)×2＝5.
核心素养升级练
1．答案：A
解析：解法一：菱形ABCD的边长为4 cm，一个内角为120°，画出它的平面直观图，如图四边形A′B′C′D′所示：
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝120°，
所以BD＝4，AC＝4 eq \r(3)，
在四边形A′B′C′D′中，B′D′＝ eq \f(1,2)BD＝2，AC＝A′C′，
所以四边形A′B′C′D′的面积为 eq \f(1,2)A′C′·B′D′·sin 45°＝ eq \f(1,2)×2×4 eq \r(3)× eq \f(\r(2),2)＝2 eq \r(6)(cm2).
解法二：菱形ABCD的边长为4 cm，一个内角为120°，所以对角线AC＝4 eq \r(3)，BD＝4，
菱形ABCD的面积为S＝ eq \f(1,2)×4 eq \r(3)×4＝8 eq \r(3)，
该菱形的平面直观图面积为S′＝ eq \f(S,2\r(2))＝ eq \f(8\r(3),2\r(2))＝2 eq \r(6)(cm2).
故选A.
2．答案：C
解析：由题设，△A′B′C′和△O′B′C′均为等腰直角三角形，
所以∠A′B′x′＝45°，即A′B′∥y′轴，原直角坐标系中AB∥y轴，
而A′B′＝ eq \r(2)，则AB＝2 eq \r(2)，
在△ABC中AB边上的高等于OB的长，又OB＝O′B′＝2，
所以△ABC的面积为 eq \f(1,2)×2×2 eq \r(2)＝2 eq \r(2).
故选C.
3．答案：24
解析：在直观图中，设线段B′C′交y′轴于点D′，如图所示：
易知∠C′O′D′＝45°，且O′C′⊥C′D′，则△C′O′D′为等腰直角三角形，
所以，C′D′＝O′C′＝2，O′D′＝2 eq \r(2)，作出原图形如图所示：
可知原图形为平行四边形OABC，且OA＝BC＝6，CD＝2，OD＝4 eq \r(2)，
由勾股定理可得AB＝OC＝ eq \r(OD2＋CD2)＝6，
因此，原图形的周长为4×6＝24.