【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--单元素养测评卷三 第八章 立体几何初步（含解析）

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单元素养测评卷(三)时间：120分钟　满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题错误的是(　　)A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角2．以下结论正确的是(　　)A．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为1B．在水平平面上用斜二测画法作出边长为2的正方形的直观图的面积为2C．若平面α∥平面β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥bD．若平面α⊥平面β，α∩β＝l, 直线a⊂α，a⊥l，则a⊥β3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,3) C．πD．2π4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1B与AD1所成角的大小为(　　)A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 5．正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，3 cm，侧棱长为 eq \r(2) cm，则棱台的侧面积为(　　)A．4 cm2B．5 eq \r(7) cm2C．4 eq \r(3) cm2D．8 eq \r(3) cm26.据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，三棱锥外接球表面积为(　　)A．10πB．12πC．14πD．16π7.如图，正方体ABCD ­A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则下列判断错误的是(　　)A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，F四点共面C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，O2四点共面8．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E在线段B1D上，则(　　)A．DE与AC所成角等于60° B．AE∥平面BDC1C．平面A1EC⊥平面C1BD D．三棱锥E­C1BD体积为定值二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．下列说法正确的是(　　)A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B．棱锥的侧面一定都是三角形C．棱台各侧棱所在直线必交于一点D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台10．设有三条不重合直线a，b，c和三个不重合平面α，β，γ，则下列命题中正确的有(　　)A．若a∥c，b∥c则a∥b B．若a⊥c，b⊥c，则a⊥bC．若α∥γ，β∥γ则α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ则α⊥β11．下面叙述正确的是(　　)A．垂直于同一直线的两条直线相互平行B．正三角形的平面直观图一定不是等腰三角形C．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为2∶3D．若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，BC的中点，则(　　)A．BE与CD异面 B．平面A1BE∥平面AFGC．平面AFG⊥平面ABCD D．BE与DD1所成角的正切值为 eq \f(1,2) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线a∥平面α，b⊂α，则a与b的位置关系是________．14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是________(填序号).15．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是侧面BB1C1C内的一个动点，则三棱锥D­AED1的体积为________．16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为 eq \f(32,3) π，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题10分)如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB＝5，OB＝3.(1)求圆锥的表面积；(2)经过圆锥的高PO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．(本小题12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB, E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求证：PC⊥AD；(2)求证：平面PAB∥平面EFG.19．(本小题12分)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中．(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)作出二面角B1­AD1­B的平面角，并说明理由．20．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝CB＝CC1＝2，∠ACB＝120°，E为AB的中点．(1)求证：AC1∥平面B1CE；(2)求三棱锥C1­B1CE的体积．21.(本小题12分)如图所示，已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3.(1)证明：平面ACF⊥平面BDEF；(2)设AD中点为G，求直线FG与底面ABCD所成角的余弦值．22．(本小题12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G为AE中点．(1)求证：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱锥D­ABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求 eq \f(BP,BD) 的值；若不存在，请说明理由．单元素养测评卷(三)1．答案：B解析：一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故A正确；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故B错误；如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故C正确；一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线都垂直，故它们形成的角就是二面角的一个平面角，故D正确. 故选B.2．答案：D解析：S侧＝πrl＝2π可得r＝1，所以h＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(3)，故A错误；因为原图形的面积S＝22＝4，所以斜二测画法的直观图面积S′＝ eq \f(\r(2),4)S＝ eq \r(2)，故B错误；平面α∥平面β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则a，b可能异面也可能平行，故C错误；由面面垂直的性质定理可知，平面α⊥平面β，α∩β＝l, 直线a⊂α，a⊥l，则a⊥β，故D正确．故选D.3．答案：D解析：因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的底面半径为r，则高为2r，S侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，则r＝1，故圆柱的体积为πr2×2r＝2π.故选D.4．答案：B解析：画出图象如图所示，根据正方体的性质可知A1B∥D1C，所以∠AD1C是直线A1B与AD1所成角或其补角，由于三角形ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝ eq \f(π,3)，即直线A1B与AD1所成角的大小为 eq \f(π,3).故选B.5．答案：B解析：由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上、下底面边长分别为2 cm，3 cm，腰长为 eq \r(2) cm，所以斜高为h′＝ eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(7),2).所以侧面积为S＝ eq \f(1,2)(2＋3)× eq \f(\r(7),2)×4＝5 eq \r(7)(cm2).故选B.6．答案：B解析：如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径R＝ eq \f(PC,2)＝ eq \f(\r(AP2＋AB2＋BC2),2)＝ eq \f(\r(4＋4＋4),2)＝ eq \r(3).所以三棱锥外接球表面积S＝4πR2＝4π×3＝12π.故选B.7．答案：B解析：因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1上，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1上，D不在平面BCC1B1上，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于点H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥AA1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，故D正确．故选B.8．答案：C解析：对于A，连接BD，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD；∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1；又BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D，又DE⊂平面BB1D，∴AC⊥DE，A错误；对于B，连接AD1，D1E，假设AE∥平面BDC1，∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，又AE∩AD1＝A，AE，AD1⊂平面AED1，∴平面AED1∥平面BDC1，∵D1E⊂平面AED1，∴D1E∥平面BDC1，又D1E⊂平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面BDC1＝BD，∴D1E∥BD，当E与B1不重合时，显然D1E∥BD不成立，B错误；对于C，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD；又AC⊥BD，AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴A1C⊥BD；同理可得A1C⊥BC1，∵BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1，∵A1C⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面C1BD，C正确；对于D，∵B1D∩平面BDC1＝D，∴当E为线段B1D上的动点时，其到平面BDC1的距离不是定值，∴三棱锥E­C1BD体积不是定值，D错误．故选C.9．答案：BC解析：如图所示：将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故A错误；根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确；如图所示：该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D错误．故选BC.10．答案：AC解析：由平行线的传递性可知，若a∥c，b∥c，则a∥b，所以A正确；若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误；根据平行面的传递性可知，若α∥γ，β∥γ，则α∥β，所以C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行，也可能相交，所以D错误；故选AC.11．答案：BCD解析：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成45°，不为等腰三角形，选项B正确；圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R，则球的体积为 eq \f(4πR3,3)，圆柱的体积为 2πR3 ，球与圆柱的体积之比为2∶3，选项C正确；若两个平面α，β垂直，假设平面α内与它们的交线l不垂直的直线l1与平面β垂直，因为l1⊥β，且平面α，β的交线l⊂β，所以可得l1⊥l，这与条件l与l1不垂直相互矛盾，所以假设不成立，原命题成立，故D正确．故选BCD.12．答案：ABD解析：如图，BE与CD异面，A正确．依题意可证A1E∥AG，BE∥AF，因为AG⊂平面AFG，A1E⊄平面AFG，所以A1E∥平面AFG，同理可证BE∥平面AFG，因为AF∩AG＝A，所以平面A1BE∥平面AFG，B正确．由图可知，平面AFG与平面ABCD不垂直，C错误．BE与DD1所成的角即BE与BB1所成的角，所以BE与DD1所成角的正切值为tan ∠B1BE＝ eq \f(B1E,B1B)＝ eq \f(1,2)，D正确．13．答案：平行或异面解析：由题意知，直线a与b没有公共点，则a与b平行或异面．14．答案：①⑤解析：由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，综上可知截面的图形可能是①⑤.15．答案： eq \f(4,3)解析：点E到平面ADD1的距离为2，所以＝ eq \f(4,3).16．答案：48 eq \r(3)　48 eq \r(3)解析：设球的半径为r，则 eq \f(4,3)πr3＝ eq \f(32π,3)，得r＝2，所以正三棱柱的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，设底面边长为a，则2＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),2)a，解得a＝4 eq \r(3)，所以底面正三角形的边长为4 eq \r(3)，所以正三棱柱的侧面积S侧＝3×4×4 eq \r(3)＝48 eq \r(3)，体积V＝ eq \f(\r(3),4)×(4 eq \r(3))2×4＝48 eq \r(3).17．解析：(1)由题意可知，该圆锥的底面半径r＝3，母线l＝5.∴该圆锥的表面积S＝πr2＋πrl＝π×32＋π×3×5＝24π.(2)在Rt△POB中，PO＝ eq \r(PB2－OB2)＝ eq \r(52－32)＝4，∵O′是PO的中点，∴PO′＝2.∴小圆锥的高h′＝2，小圆锥的底面半径r′＝ eq \f(1,2)r＝ eq \f(3,2)，∴截得的圆台的体积V台＝V大－V小＝ eq \f(1,3)×π×32×4－ eq \f(1,3)×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)×2＝ eq \f(21π,2).18．证明：(1)由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD(ABCD是正方形)，PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC.(2)由E，F分别是线段PC，PD的中点，所以EF∥CD，又ABCD为正方形，AB∥CD，所以EF∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.因为E，G分别是线段PC，BC的中点，所以EG∥PB，又EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB.因为EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB.19．解析：(1)证明：∵ABCD­A1B1C1D1是正方体，∴AB∥C1D1，且AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)取BC1、AD1中点分别为P、Q，连接B1Q、PQ，则∠B1QP为二面角B1­AD1­B的平面角， 理由如下：设正方体的棱长为a，则AB1＝B1D1＝ eq \r(2)a，所以B1Q⊥AD1.∵P、Q分别为BC1、AD1中点，∴PQ∥AB.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，∴PQ⊥AD1, ∴∠B1QP为二面角B1­AD1­B的平面角. 20．解析：(1)证明：连接BC1，设C1B∩CB1＝O，连接OE，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，则O为BC1的中点，又因为E为AB的中点，则OE∥AC1，因为AC1⊄平面B1CE，OE⊂平面B1CE，因此，AC1∥平面B1CE.21．解析：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD.因为四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF.∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDEF.(2)因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD；四边形BDEF是矩形，所以BF⊥BD⇒BF⊥底面ABCD.在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝5＋2＝7，∴BG＝ eq \r(7)，FG＝ eq \r(BF2＋BG2)＝4.∠FGB即为直线FG与平面ABCD所成角，在△BFG中，cos ∠FGB＝ eq \f(BG,FG)＝ eq \f(\r(7),4).22．解析：(1)证明：因为G为AE中点，AD＝DE＝2，所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG⊂平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.(2)在直角三角形ADE中，∵AD＝DE＝2，∴AE＝2 eq \r(2)，∴DG＝ eq \f(1,2)AE＝ eq \r(2).又梯形ABCE的面积S＝ eq \f(1,2)×(1＋4)×2＝5，所以四棱锥D­ABCE的体积为VD­ABCE＝ eq \f(1,3)×S×DG＝ eq \f(1,3)×5× eq \r(2)＝ eq \f(5\r(2),3).(3)过点C作CF∥AE交AB于点F，则AF∶FB＝1∶3.过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，则DP∶PB＝1∶3.又因为CF∥AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE.同理FP∥平面ADE.又因为CF∩PF＝F，CF⊂平面PFC，PF⊂平面PFC, 所以平面PFC∥平面ADE.因为CP⊂平面PFC，所以CP∥平面ADE.所以在BD上存在点P，使得CP∥平面ADE，且 eq \f(BP,BD)＝ eq \f(3,4).