【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--单元素养测评卷一 第六章 平面向量及其应用（含解析）

这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--单元素养测评卷一 第六章 平面向量及其应用（含解析），共11页。

单元素养测评卷(一)时间：120分钟　满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的是(　　)A.若a，b都是单位向量，则a＝bB.若向量a∥b，b∥c，则a∥cC.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.已知λ，μ为非零实数，若λa＝μb，则a与b共线2．下列等式中一定成立的是(　　)A. eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→)) B． eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))C. eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))＝0 D． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝03．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则∠C＝(　　)A.60° B．120°C.135° D．150°4．已知点A(1，2)，B(3，2)，C(3，4)，则向量 eq \o(AB,\s\up6(→))在 eq \o(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量为(　　)A.( eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2)) B．(1，1)C.(2，2) D．( eq \r(2)， eq \r(2))5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　　)A.钝角三角形 B．直角三角形C.等边三角形 D．等腰直角三角形6．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则 eq \o(OM,\s\up6(→))＝(　　)A. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))B. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))C. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))D. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))7．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos  eq \f(A,2))，n＝(b，cos  eq \f(B,2))，p＝(c，cos  eq \f(C,2))共线，则△ABC形状为(　　)A.等边三角形 B．等腰三角形C.直角三角形 D．等腰直角三角形8．如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且 eq \o(BD,\s\up6(→))＝3 eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(OD,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))＋μ eq \o(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(λ,μ)＝(　　)A.－ eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,4)C. eq \f(1,5) D． eq \f(1,4)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，则(　　)A.a·b＝4 B．(a＋b)2＝ eq \r(26)C.(a＋b)·(a－b)＝－8 D．(a－b)2＝1010．已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)A.a∥bB．a与b垂直C.a与a－b的夹角为 eq \f(π,4)D．|a－b|＝111．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，下列说法正确的是(　　)A.若A为锐角，则b2＋c2>a2B.若A为锐角，则b＋c2sin B，则A>BD.若sin A>sin B，则A与B大小不能确定12．在△ABC中，下列正确的是(　　)A.若 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(BA,\s\up6(→))<0，则△ABC为钝角三角形B.若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))，则△ABC为直角三角形C.若( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))·( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形D.已知 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|，则△ABC为等边三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，则实数m＝________．14．已知|a|＝ eq \r(2)，|b|＝1，a·(a－b)＝1，则向量a与向量b的夹角为________．15．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是边BC上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB＝________．16．在△ABC中，AB＝AC＝ eq \r(3)， eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(BD,\s\up6(→))，2 eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(9,2)，则BC＝________，若点P在线段CF上，则 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1).(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b， eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．18．(本小题12分)设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2b－a)cos C＝c cos A．(1)求角C的大小；(2)若c＝2 eq \r(3)，且________，求△ABC的周长．请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．①△ABC的面积为 eq \f(\r(3),3)；② eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)；③sin A sin B＝ eq \f(1,12).注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分．19．(本小题12分)已知四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ADC＝90°，AB＝2，BD＝2 eq \r(6)，DC＝4 eq \r(3).(1)求sin ∠ADB；(2)求BC.20．(本小题12分)已知向量a＝( eq \r(3)，1)，a·b＝4.(1)当|b|＝4时，求 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))；(2)求|b|的最小值，并求此时向量a，b的夹角大小．21.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c－b＝a cos B－b cos A．(1)求A；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．22．(本小题12分)为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场ABCD中，如图，其中AB＝400 m，BC＝300 m，现将在其内部挖掘一个三角形空地DPQ进行盆景造型设计，其中点P在BC边上，点Q在AB边上，要求∠PDQ＝ eq \f(π,3).(1)若AQ＝CP＝100 m，判断△DPQ是否符合要求，并说明理由；(2)设∠CDP＝θ，写出△DPQ的面积S关于θ的表达式，并求S的最小值．单元素养测评卷(一)1．答案：D解析：单位向量的方向不一定相同，故A错误；当b＝0时，显然a与c不一定平行，故B错误；非零向量a共线的单位向量有± eq \f(a,|a|)，故C错误；由共线定理可知，若存在非零实数λ，μ，使得λa＝μb，则a与b共线，故D正确．故选D.2．答案：D解析： eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))，则 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→))不一定成立．选项A判断错误； eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→)).选项B判断错误； eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))＝0.选项C判断错误； eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝0.选项D判断正确．故选D.3．答案：B解析：由c2＝a2＋b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(－ab,2ab)＝－ eq \f(1,2)，由于0°0，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos Asin B>0，由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，故 eq \f(b,a)＝ eq \f(sin B,sin A)<1，故b0，即| eq \o(AC,\s\up6(→))|·| eq \o(AB,\s\up6(→))|·cos A>0，可得cos A>0，不能证明△ABC为钝角三角形，故A错误；对B，| eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))|即 eq \o(AB,\s\up6(→))2＋ eq \o(AC,\s\up6(→))2＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))2＋ eq \o(AC,\s\up6(→))2－2 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))，解得 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，故∠A＝90°，故B正确；对C，若( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))·( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \x\to(AC))＝0，则 eq \o(AB,\s\up6(→))2－ eq \o(AC,\s\up6(→))2＝0，故| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC为等腰三角形，故C正确；对D，因为 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，故| eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))|2＝|－ eq \o(OC,\s\up6(→))|2，即| eq \o(OA,\s\up6(→))|2＋| eq \o(OB,\s\up6(→))|2＋2 eq \o(OA,\s\up6(→))· eq \o(OB,\s\up6(→))＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|2，又| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|，所以| eq \o(OA,\s\up6(→))|2＋2| eq \o(OA,\s\up6(→))|·| eq \o(OB,\s\up6(→))|cos ∠AOB＝0，故cos ∠AOB＝－ eq \f(1,2)，故∠AOB＝120°，同理∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，结合| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|可得| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，故△ABC为等边三角形，故D正确．故选BCD.13．答案：3解析：因为a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，所以2a＋b＝(2m＋1，3m－2)，又(2a＋b)⊥c，故(2a＋b)·c＝0，即－(2m＋1)＋(3m－2)＝0，解得m＝3.14．答案： eq \f(π,4)解析：设向量a与向量b的夹角为θ，因为|a|＝ eq \r(2)，|b|＝1，a·(a－b)＝1，所以a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝2－ eq \r(2)cos θ＝1，得cos θ＝ eq \f(\r(2),2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,4).15．答案：5 eq \r(6)解析：由题，在△ADC中，cos C＝ eq \f(AC2＋DC2－AD2,2AC·DC)＝ eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝ eq \f(11,14)，所以sin C＝ eq \r(1－cos2C)＝ eq \f(5\r(3),14)，在△ABC中， eq \f(AB,sinC)＝ eq \f(AC,sin B)，即 eq \f(AB,\f(5\r(3),14))＝ eq \f(14,\f(\r(2),2))，所以AB＝5 eq \r(6).16．答案： eq \r(3)　 eq \f(3,2)解析：由题，因为 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(BD,\s\up6(→))，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))，又2 eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))，则 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CF,\s\up6(→))，因为 eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))，则 eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(CD,\s\up6(→))＝( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)))·(2 eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))2－ eq \o(AC,\s\up6(→))2＋ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(9,2)，因为AB＝AC＝ eq \r(3)，则2×( eq \r(3))2－( eq \r(3))2＋ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(9,2)，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2)，所以BC＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(（\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）\o(2,\s\up6(　)) )＝ eq \r(\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(AB,\s\up6(→))2－2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))\o(,\s\up6(　)) )＝ eq \r(3)；因为点P在线段CF上，所以设 eq \o(CP,\s\up6(→))＝λ eq \o(CF,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，因为 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CP,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(AB,\s\up6(→))，所以 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝( eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(AB,\s\up6(→)))·( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))2＋(λ－1) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))－λ eq \o(AB,\s\up6(→))2＝－ eq \f(3,2)λ＋ eq \f(3,2)，所以当λ＝0时， eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))的最大值为 eq \f(3,2).17．解析：(1)由a＝(1，0)，b＝(2，1)，可得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，解得k＝－ eq \f(1,2).(2)因为A，B，C三点共线，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))＝λ eq \o(BC,\s\up6(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝ eq \f(3,2).18．解析：(1)因为(2b－a)cos C＝c cos A，由正弦定理可得(2sin B－sin A)cos C＝sin C cos A，所以2sin B cos C＝sin (A＋C)＝sin B，在△ABC中，sin B>0，所以cos C＝ eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,3).(2)若选①，因为△ABC的面积为 eq \f(\r(3),3)，所以 eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ab sin  eq \f(π,3)＝ eq \f(\r(3),4)ab＝ eq \f(\r(3),3)，所以ab＝ eq \f(4,3).若选②，因为 eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)，所以ab cos C＝ab cos  eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)ab＝ eq \f(2,3)，所以ab＝ eq \f(4,3).若选③，由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝ eq \f(2\r(3),sin 60°)＝4，所以sin A＝ eq \f(a,4)，sin B＝ eq \f(b,4)，因为sin A sin B＝ eq \f(1,12).所以ab＝ eq \f(4,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab，即(a＋b)2－3ab＝12，所以(a＋b)2＝16，则a＋b＝4或a＋b＝－4(舍去)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2 eq \r(3).19．解析：(1)在△ABD中，由正弦定理可知 eq \f(BD,sin A)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB)，即 eq \f(2\r(6),sin 60°)＝ eq \f(2,sin ∠ADB)，解得sin ∠ADB＝ eq \f(\r(2),4).(2)由∠ADC＝90°，故cos ∠BDC＝cos (90°－∠ADB)＝sin ∠ADB＝ eq \f(\r(2),4)，在△CBD中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BD cos ∠BDC，即BC2＝(4 eq \r(3))2＋(2 eq \r(6))2－2×4 eq \r(3)×2 eq \r(6)× eq \f(\r(2),4)＝48，所以BC＝4 eq \r(3).20．解析：(1)因为a＝( eq \r(3)，1)⇒|a|＝ eq \r(3＋1)＝2.因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋8＋16＝28，所以|a＋b|＝2 eq \r(7).(2)解法1：设〈a，b〉＝θ，因为a·b＝4>0，所以θ∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由a·b＝|a||b|cos θ＝4⇔|b|＝ eq \f(4,|a|cos θ)＝ eq \f(2,cos θ)≥2，当且仅当cos θ＝1即θ＝0时取等；所以|b|最小值为2，此时a，b夹角大小为0.解法2：设b＝(x，y)，由a·b＝4⇒ eq \r(3)x＋y＝4，所以|b|＝ eq \r(x2＋y2)＝  eq \r(x2＋（4－\r(3)x）2)＝ eq \r(4x2－8\r(3)x＋16)＝  eq \r(4（x－\r(3)）2＋4)；故当x＝ eq \r(3)，y＝1时|b|最小值为2，此时cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝1⇒〈a，b〉＝0.21．解析：(1)∵c－b＝a cos B－b cos A，∴sin C－sin B＝sin A cos B－sin B cos A，则sin A cos B＋sin B cos A－sin B＝sin A cos B－sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B.因为sin B≠0，所以cos A＝ eq \f(1,2)，又∵0