初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.2 圆的对称性优秀同步训练题

专题2.7 圆的对称性（弧、弦、圆心角）（知识梳理与考点分类讲解）

弧、弦、圆心角的关系
   1.圆心角定义
　　如右图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
   2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
   3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
特别说明：
　　(1) 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
　　(2) 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
 

【考点一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识

【例1】下列说法正确的是（    ）

A．相等的圆心角所对的弧相等      B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等

C．弦相等，圆心到弦的距离相等      D．圆心到弦的距离相等，则弦相等

【答案】B

【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．

解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；

B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；

C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；

D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．

【举一返三】

【变式1】下列命题中正确的是（    ）

A．圆心角相等，所对的弦相等      B．长度相等的弧是等弧

C．弧是半圆      D．弦的垂直平分线必经过圆心

【答案】D

【分析】根据圆的相关定义，垂径定理逐项分析判断即可求解．

解：A. 同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故该选项不正确，不符合题意；    

B. 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；

C. 弧是圆的一部分，半圆是圆的一半，故该选项不正确，不符合题意；    

D. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查了圆的相关定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．

【变式2】如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】B

【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．

解：∵是的直径，弦垂直于点，

∴，，，

∴，，

而不一定成立，

故选：B．

【点拨】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

【考点二】弧、弦、圆心角➼➻求值

【例2】如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D． 

(1)  若，求的度数；

(2)  若，，求的半径长；

【答案】(1)；  (2)3

【分析】（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；

（2）根据垂径定理可得，然后设的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．

（1）解： 是的一条弦，，

，

，

的度数是；

（2）解：是的一条弦，，

，

设的半径长为，

在中，，

，

，

的半径长为3．

【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．

(1)  已知，，求圆O的半径；

(2)  如果，求弦所对的圆心角的度数．

【答案】(1)；      (2)

【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；

（2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．

（1）解：连接，如图，设的半径为，则，，

平分，

，，

在中，，

解得，

即的半径为；

（2）解：连接，如图，

，

，

即，

，

，

在中，，

，

，

，

，

即弦所对的圆心角的度数为．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．

【变式2】如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是          ．

【答案】/度

【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得．

解：连接，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴的度数是，

故答案为：．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．

【考点三】弧、弦、圆心角➼➻证明

【例3】如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D． 

(1)  连接，判断与的位置关系，并证明；

(2)  若，，求圆O的半径；

【答案】(1)，证明见详解；(2)5

【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；

（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．

（1）解：，理由如下：

延长交于点，连接，

，

，

；

（2）解：由（1）中结论，，

，

，

设的半径为，则，

在中，，即，

解得：，即的半径为5．

【点拨】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

【举一返三】

【变式1】如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．

【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．

解：证明：，

，                                        

，

即，                                      

，                                                             

；

【点拨】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．

【变式2】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．

（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；

（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．

【答案】（1）35°；（2）见分析

【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；

（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．

（1）解：连接AC．

∵弧AD为120°，弧BC为50°，

∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，

∵∠ACD＝∠BAC+∠E

∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；

（2）证明：连接AD．

∵AB＝CD，

∴弧AB＝弧CD，

∴弧AC＝弧BD，

∴∠ADC＝∠DAB，

∴AE＝DE．

【点拨】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．

【考点四】弧、弦、圆心角➼➻求圆弧的度数

【例4】如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．

【答案】（1）；（2）13

【分析】（1）连接，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；

（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径．

解：（1）连接

∵

∴

∴

∵

∴

（2）∵

∴

设，则

在中，

∴

∴的半径长为13．

【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．

【举一返三】

【变式1】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：

（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．         

（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．       

（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．        

（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．      

【答案】     真命题     假命题     真命题     假命题

【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．

解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；

对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；

对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；

对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和 所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．

故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．

【点拨】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．

【变式2】如图，在半圆O中半径为，，与交于点D

（1）＝      ；

（2）当点D恰好为的中点时，＝       ．

【答案】     60°    

【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以；

（2）设，得，，，在中，根据勾股定理得  ，即可求出答案．

解：（1）,，

，

，

，

为圆O的直径，

，

；

故答案为：；

（2）设，

∵点D恰好为的中点，

，

在中，，

，

在中，根据勾股定理得，

，

即，

解得（舍去），

∴．

故答案为：．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．