初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性精品课后测评

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性精品课后测评，共27页。

专题2.6 圆的对称性（垂径定理）（直通中考）
【要点回顾】
1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.垂径定理的推论
（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分线，并且平分弦所对的另一条弧.
一、单选题
1．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（     ）．

A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(    )

A．36 B．24 C．18 D．72
3．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（     ）
  
A．8 B．6 C．4 D．3
4．（2021·广西玉林·统考中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（     ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
5．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（     ）
  
A． B． C． D．
6．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(     )
  
A． B．7 C．8 D．
7．（2021·山东淄博·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（     ）

A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
8．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（     ）

A．1 B． C．2 D．4
9．（2022·安徽·统考中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（     ）
A． B．4 C． D．5
10．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ）

A．1米 B．米 C．2米 D．米
二、填空题
11．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ．

12．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．

13．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
  
14．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．

15．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ．

16．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ．
17．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，， 则的半径 ．

18．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．



三、解答题
19．（2023·广东清远·统考一模）如图，在⊙O中，直径，弦，连接．
(1) 尺规作图：过点O作弦的垂线，交于点E，交于点D，且点D在劣弧间．
(2) 连接，求的面积．



20．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得 将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
  





21．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，（非直径）为的两条弦，与 交于点，请从①为直径；②为中点；③为中点；中选择两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，并完成证明．
  








22．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．





23．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点． 
(1) 求证：四边形为矩形．
(2) 已知的半径为4，，求弦的长．





24．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．

(1) 直接判断与的数量关系；
(2) 求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．


























参考答案
1．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
解：∵
∴点为的中点，
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
2．A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
解：如图，连接OC，

∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中，，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
3．D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，
  
∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
4．D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
  
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
6．B
【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长．
解：作于点M，
  
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠，
∴， ，
∴，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
7．D
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
解：连接OA，如图所示，

设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
解：设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
9．D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
解：连接，过点作于点，如图所示，

则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
10．B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．

【点拨】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
11．
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
12．
解：如图，连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1，

∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点．
∴AB=2AD．
故答案为：
13．
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
  
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
14．26
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．
解：连接，

，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
（寸）．
故答案为：26．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
15．7
【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
解：如图，连接，

A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
16．或
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，

的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，

同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
17．
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
18．7.5
【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
解：如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．

【点拨】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
19．(1)见详解；(2)
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点F，连接，交于点D，交于点E；
（2）根据垂径定理得到，再求出半径，根据三角形面积公式即可求解．
（1）解：如图，OD为所作；

作法：分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点F，连接，交于点D，交于点E；
证明：连接、、，
由作图得，由圆的性质得，
∴点都在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的面积＝．
【点拨】本题考查了作线段的垂线，垂径定理等知识，会作线段的垂直平分线，熟知垂径定理是解题关键．
20．见分析
【分析】连接，过点O作垂直交于点C，即可求解．
解：如图，点C即为所求．
    ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，尺规作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
21．见分析
【分析】分三种情况分别进行推理论证即可．
解：（1）知①，②推③：如图，连接，
  
为中点，
，
为中垂线，
∵为直径，
∴,
所以为弧中点,
（2）知①③推②：如图，连接，

为中点,
,
又,
为的中垂线,
为中点
（3）知②③推①：如图，连接，
  
∵为中点，
∴,
,
∵为中点，
∴，
为中垂线,
即为圆直径.
【点拨】此题考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
解：证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;

（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点拨】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
23．(1)见分析；(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
解：（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．
  
四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
24．(1)；(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
（1）解：∵半径，
∴．
故答案为：．
（2）设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【点拨】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．