人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试

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6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
A级　基础巩固
1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数m的值为(　　)
A.- B. C.2 D.6
解析:因为a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,
所以3×2+m·(-1)=0,
所以m=6.
答案:D
2.在平面直角坐标系Oxy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·= (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:由四边形ABCD为平行四边形,知=+=(3,-1),
故·=(2,1)·(3,-1)=5.
答案:A
3.若正方形OABC两边AB,BC的中点分别为点D和E,则∠DOE的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
解析:以点O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形OABC的边长为1,则D(1,),E(,1),于是cos∠DOE=
=.
答案:D
4.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|b|=　　　　. 
解析:因为a=(-1,3),b=(1,t),
所以a-2b=(-3,3-2t).因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-3)×(-1)+3(3-2t)=0,解得t=2,所以b=(1,2),所以|b|==.
答案:
5.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:(1)设c=(x,y),因为|c|=2,
所以=2,所以x2+y2=20.
由c∥a,得1×y-2×x=0,
所以解得或
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
所以2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,
所以cos θ==-1.
因为θ∈[0,π],所以θ=π.
B级　能力提升
6.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当·取最小值时,点P的坐标是(　　)
A.(2,0) B.(4,0) C.（,0） D.(3,0)
解析:设P(a,0),则=(2-a,-1),=(4-a,2),所以·=(2-a)(4-a)-2=a2-6a+6.由二次函数的性质,得当a=3时,·有最小值,此时点P的坐标是(3,0).
答案:D
7.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=　　　　. 
解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).
因为|a|=,|b|=2,a·c=5m+8,b·c=8m+20,
且c与a的夹角等于c与b的夹角,
所以=,
即=,解得m=2.
答案:2
8.设向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=（-,）,且a与b不共线.
(1)求证:(a+b)⊥(a-b);
(2)若向量a+b与a-b的模相等,求α.
(1)证明:由题意可得a+b=（cos α-,sin α+）,
a-b=（cos α+,sin α-）,
所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)解:因为向量a+b与a-b的模相等,
所以(a+b)2=(a-b)2,
所以a2-b2+2a·b=0.
因为|a|==1,|b|==1,所以1-1+2a·b=0,
解得a·b=0,
所以-cos α+sin α=0,所以tan α=.
因为0≤α<2π,所以α=或.
C级　挑战创新
9.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若a与c的夹角等于b与c的夹角,则t= (　　)
A.-6 B.-5 C.5 D.6
解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4),
所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.
因为a与c的夹角等于b与c的夹角,所以这两个夹角的余弦值相等,
即=,即=3+t,
解得t=5,故选C.
答案:C
10.多选题(2021·新高考全国 Ⅰ 卷)已知O为坐标原点,点P1(cos α,
sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　)
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
解析:A选项,因为||==1,||==1,所以||=||,A选项正确.B选项,易知||==,||==,由于α,β的大小关系不确定,所以不能确定||=||成立,B选项不正确.C选项,因为·=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),·=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以·=·,C项正确.D选项,因为·=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,·=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(α+2β),由于β的大小不确定,所以·=·不一定成立.D选项不正确.故选AC.
答案:AC