【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.1.1《空间向量及其线性运算》讲学案（必修1）

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1．1.1 空间向量及其线性运算
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．几类特殊的空间向量
知识点二 空间向量的线性运算
知识点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
题型一、空间向量的有关概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量，，满足，，则
题型二、空间向量的加减运算
1．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1B．2C．3D．4
2．如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1)＋.
(2)＋－.
(3)＋＋
(4)＋＋＋＋.
题型三、空间向量的线性运算
1．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
2．如图，在长方体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
题型四、空间共线向量定理
1．如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
2．已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值．
3．在空间四边形ABCD中，，，则________.
题型五、空间共面向量定理
1．下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
3．直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(2)；
(3).
5．有以下命题：
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，则存在唯一的实数，使；
③若､､共面，即表示这三个向量所在的直线共面.
则真命题的个数为___________.
6．已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________.
7．如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，.
求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）；
（3）.
8．在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
9．在正方体中，判断下列各组向量是否共面：
(1)；
(2)；
(3)．
10．如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
11．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，.
（1）证明：、、、四点共面；
（2）若，求.
1．已知，，，是空间中的四个点，则“”是“，，，四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ）
A．，，，四点必共面B．，，，四点必共面
C．，，，四点必共面D．，，，，五点必共面
3．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知A､B､C､D､E是空间中的五个点，其中点A､B､C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．对空间任一点O和不共线三点A､B､C，能得到P､A､B､C四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．以上都错
6．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）
A．P∈直线ABB．P∉直线AB
C．O，A，B，P四点共面D．P，A，B三点共线
7．下列说法正确的是（ ）
A．空间中任意两非零向量共面
B．直线的方向向量是唯一确定的
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则
8．如图，在正方体中，点E在上，且，点F在体对角线上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．E，F，B三点共线B．，B，C，D四点共面
C．，E，F三点共线D．，E，F，B四点共面
9．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________．
10．在正方体，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中x､，则点P可以是正方体表面上的点___________.（答案不唯一）
11．对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P､A､B共线的是___________（填序号）.
①；
②；
③；
④.
12．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
13．根据如图的平行六面体，化简下列各式：
(1)；
(2).
14．如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
15．如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
求证：B，G，N三点共线．
16．已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：
(1)；
(2)．
17．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ<0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.