数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品教学设计

1.1空间向量及其运算单元教学设计

一、    内容和及其解析

本单元知识结构图：

1.1内容

（1）空间向量及其相关概念；

（2）共线向量定理和共面向量定理；

（3）空间向量的线性运算；

（4）空间向量的数量积运算.

1.2内容解析

内容本质：本节课是本单元的起始课，在建立单元学习框架的基础上，通过本节的知识内容空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量等的学习，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课，它既是空间向量的基础，以及在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节知识点对空间向量以后的学习是至关重要的.同时本节课的内容本质是通过对向量的概念从平面向量的认识向空间向量的过渡，有平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面向量具有一致性，但在维数上发生了变化，空间向量是三维的，平面向量是二维的.由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、减法、数乘、数量积运算也具有一致性，当然也要注意维数的变化.

蕴含的思想方法：

（1）向量作为代数对象，通过类比数及其运算，抽象与表示运算对象、构建运算体系；向量作为几何对象，以平面几何、立体几何中关于几何对象的抽象与表示、图像性质的内涵与发现等为参照发现和提出问题.向量运算法则、运算律都具有几何意义，而且这些定义的给出都是以几何的相关定理例如平行四边形定理、相似三角形定理、勾股定理等等作为逻辑基础的.

（2）在教学时，类比平面向量得出空间向量的相关概念，体现了直观想象的核心素养；通过空间向量的性质与运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的线性运算，巩固学习空间向量的含义与运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养.过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养.

知识的上下位关系：

在平面向量知识的基础上，结合具体实例，继续研究空间向量；通过空间向量的相关知识的学习，加深对平面向量知识的认识和理解；通过利用空间向量知识来解决实际问题，提高用向量方法解决问题的能力。类比平面向量的知识，归纳得出空间向量的基本概念及其运算，为后续的学习奠定了基础.

育人价值：

通过具体实例,学生经历空间向量的相关概念的得出，在探究过程中，体悟平面向量与空间向量的区别于联系，用空间向量的线性运算以及数量积运算来解决空间立体几何的简单的平行、垂直、距离和夹角等问题，感受由特殊到一般、具体到抽象的思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性与差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具.

教学重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），并能熟练运用线性运算法则进行空间向量的运算，熟练掌握空间向量的数量积.

二、目标及其解析

2.1单元目标

（1）经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量概念.

（2）经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算和数量积运算.

（3）了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

 2.2目标解析

达成目标的标志：

（1）能类比平面向量的学习，经历平面向量推广到空间向量的过程，并初步建构空间向量及其运算的 研究框架.

（2）能类比平面向量，用自己的语言解释空间向量的概念，说明空间向量与平面向量的共性与差异.

（3）能将平面向量的线性运算推广到空间，给出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及其几何意义.

（4）能将平面向量的线性运算的运算律推广到空间，并能借助图形解释其意义；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素，体会空间向量的线性运算在解决立体几何问题中的作用.

（5）能将平面向量数量积的运算推广到空间，给出空间向量数量积的概念，会计算两个向量的数量积；能将平面向量数量积运算律推广到空间向量数量积的运算律，能用自己的语言解释空间向量运算律和实数运算律的联系与区别.

（6）能借助图形解释空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

（7）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及其运算律在解决立体几何中的作用.

三、学情分析

3.1学生已有基础分析

(1)知识准备：空间向量是平面向量的延伸，经历了高一必修二第六章的平面向量的知识的学习，学生应该很容易理解空间向量及其相关概念，在较好地进行平面向量的线性运算的基础上推广到空间向量，但对于将空间中平移到同一起点即同一平面上后,再利用平面向量中的三角形法则和平行四边形法则计算这两个向量的线性计算，学生可能很难理解或想象空间向量进行平移到同一平面上，因此在教学中可以适当利用教学设备，展示向量移动的动画，加强学生的理解。

（2）思维准备、研究方法：通过学生对之前平面向量的学习，学生已经积累了一些经验，但数学抽象能力较低，在将知识推广到空间时，对空间想象力的要求很高；再有将空间立体图形平面化的化归转化能力不强，也会导致对后续知识学习理解的匮乏，因此在教学过程中，还是形象直观为主，可以通过具体实例切入探究，如，为了加深对概念的辨析、理解，可借助于向量的有向线段表示法进行分析，或在已有的平行六面体上，解决简单有关空间向量的概念问题，如：相等向量、相反向量、共线向量和共面向量等等，体会从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法.

3.2.学生基础与目标的差距

（1）缺乏基本活动经验.

在研究的范围内已由平面扩展到空间，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已经不只是一个平面，二是互相平行的“平面集”，这需要学生对向量有新的理解，另外，尽管在形式上空间向量的运算、运算律和平面向量的一致，但因为维数发生了变化，所以它们的几何表示式不同的，这些是本单元学习的难点.

破解的方法:

在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．研究空间向量时，学生对向量的直觉经验、已学过的有限平面向量的知识不足，以高中平面向量的学习基础的直接经验，致使学生抽象过程不充分，导致学生对空间向量概念及数学表达的认识不牢固，对其线性运算理解不深入，使后续的空间向量运算的学习缺乏必要的基础。遵循从具体到抽象的原则，通过熟悉的实例，发挥立体几何图形的直观性作用，学生在直观感知的基础上,正确找出相等向量、相反向量、共线向量和共面向量等，厘清立体图形中出现的向量相互关系等角度，引导学生进行归纳，明确研究对象的基本特征。再通过具体实例进行辨析、理解。

（2）学生还缺乏利用空间向量解决立体几何问题的经验.另外，由于图形的维数增加了，也更抽象了，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示，对学生来讲都是难点.

破解的方法: 学生缺乏实际问题数学化的经验，如何选择数学语言和工具刻画空间向量存在困难，学生不容易将立体图形用向量平移描述出来，一部分停留在平面向量的记忆上，为深入的理解空间向量相关概念造成障碍。为此选取以长方体、正方体和平行六面体为实例，从不同角度让学生经历用数学语言表达空间向量平移的过程，加深对三维空间向量的理解，让学生初步认识空间向量的基本特征，“平面向量---空间向量”是一个立体几何平面化的过程，在此基础上利用集合关系和运算研究空间向量的关系和运算，为研究空间点、直线和平面的向量表示法做好准备，也是将空间立体图形的问题转化为空间向量的问题打好基础.

（3）对于空间向量的投影，将其转化为平面向量的投影，并画出投影向量，需要较强的空间想象能力，这也是本单元的一个难点.

     破解的方法:投影向量的概念在必修二的第六章第二节中，学习平面向量的数量积概念后的新的定义，为平面向量的数量积的几何意义打下基础，我们空间向量的投影概念就要从这个概念出发：

如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，

我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.

借助图形来理解向量a在向量b上的投影向量的求法：将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量，且e＝)中计算即可．

通过具体实例，从中找到类比对象，抽象出空间一个向量在一条直线上的投影向量如何去求，再继续研究空间一个向量在一个平面内的投影向量如何操作.类比直线在平面内的投影问题，其本质问题就是点在直线上的投影，点在平面内的投影；对于向量的投影向量的研究，相当于空间一点向另一个对象（直线或平面）作投影的研究，为了使学生充分理解空间向量投影的概念，我们先将平面向量的投影向量的本质弄清楚，其实质问题就是我们进行了降维处理，降低了学生学习的难度.

教学难点:空间向量的线性运算；共线向量定理；共面向量定理和数量积； 空间向量加法结合律的验证；作出一个向量在另一个向量、一条直线上或者一个平面上的投影；空间向量的简单应用.

四、教学支持条件

通过信息技术计算机作图展示空间向量的共线、共面特征，提升学生空间直观想象；利用多媒体课件开展课堂互动，提高教学效益，同时培养学生利用信息技术处理几何问题的习惯.

五、课时教学设计

本单元共2课时，具体分配如下：

第1课时，空间向量及其线性运算

第2课时，空间向量的数量积运算