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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算课后练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算课后练习题，文件包含第01讲111空间向量及其线性运算原卷版docx、111空间向量及其线性运算2课时导学案改编版docx、第01讲111空间向量及其线性运算解析版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（23-24高二·全国·课堂例题）化简：．
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体，若为与的交点，则 .
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型01空间向量的有关概念
【典例1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量满足，则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量满足，，则
D．任一向量与它的相反向量不相等
【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题:
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，必有.
其中真命题的序号为 .
【变式1】（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【变式2】（多选）（2024高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是 （ ）
A．如果,是两个单位向量，则
B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同
C．若，，为非零向量，且，，则
D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
【变式3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
题型02空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.
【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
【变式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 .
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
【变式1】（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式2】（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）下列各组向量中共面的有（ ）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（ ）
A．B．C．D．4
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ．
【变式1】（23-24高二上·山东聊城·期中）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 .
【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 .
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【典例2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【典例3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ．
【变式1】（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（ ）
A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断
【变式3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1B．2C．D．
【变式4】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（ ）
A．3B．2C．D．
6．（23-24高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面；
B．若与共面，则存在实数x，y，使；
C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线；
D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
10．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有8个B．与相等的向量有3个
C．的相反向量有4个D．模为的向量有4个
三、填空题
11．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 .
12．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为 .
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
14．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
B能力提升
1．（2024·浙江）已知空间向量两两相互垂直，且，若则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．
3．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面．
4．（23-24高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
课程标准
学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.
②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（23-24高二·全国·课堂例题）化简：．
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体，若为与的交点，则 .
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型01空间向量的有关概念
【典例1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量满足，则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量满足，，则
D．任一向量与它的相反向量不相等
【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题:
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，必有.
其中真命题的序号为 .
【变式1】（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【变式2】（多选）（2024高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是 （ ）
A．如果,是两个单位向量，则
B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同
C．若，，为非零向量，且，，则
D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
【变式3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
题型02空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.
【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
【变式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 .
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
【变式1】（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式2】（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）下列各组向量中共面的有（ ）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（ ）
A．B．C．D．4
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ．
【变式1】（23-24高二上·山东聊城·期中）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 .
【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 .
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【典例2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【典例3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ．
【变式1】（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（ ）
A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断
【变式3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1B．2C．D．
【变式4】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（ ）
A．3B．2C．D．
6．（23-24高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面；
B．若与共面，则存在实数x，y，使；
C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线；
D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
10．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有8个B．与相等的向量有3个
C．的相反向量有4个D．模为的向量有4个
三、填空题
11．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 .
12．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为 .
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
14．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
B能力提升
1．（2024·浙江）已知空间向量两两相互垂直，且，若则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．
3．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面．
4．（23-24高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
课程标准
学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.
②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
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