人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-4-1第2课时空间中直线、平面的垂直课件

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第一章学习单元4　1.4.1　第2课时　空间中直线、平面的垂直 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点　空间中直线、平面垂直的向量表示 μ∥n ∃λ∈R,使得μ=λn　 n1⊥n2 n1·n2=0 微思考如何利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系?提示 (1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直;(2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行;(3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.重难探究·能力素养全提升问题1类比空间中直线与平面平行的向量表示,空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量有什么联系?对于几何关系,如何用向量的运算来判断?探究点一 利用向量方法证明线线垂直问题2根据直线的方向向量,结合向量的数量积运算,如何用向量法证明线线垂直?【例1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.规律方法　利用向量方法证明线线垂直的方法 探究点二 利用向量方法证明线面垂直问题3根据直线方向向量和平面法向量的定义,结合几何直观想象,如何用向量法证明线面垂直?【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.(方法2)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.规律方法　利用空间向量证明线面垂直的方法 探究点三 利用向量方法证明面面垂直问题4根据平面法向量的定义,结合几何直观想象,如何用向量法证明面面垂直?【例3】 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为棱BB1的中点.证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明 由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.规律方法　证明面面垂直的两种方法(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与直线垂直的向量表示;(2)直线与平面垂直的向量表示;(3)平面与平面垂直的向量表示.2.方法归纳:转化法、法向量法.3.常见误区:容易混淆直线的方向向量、平面的法向量之间的关系与线面垂直关系的对应.学以致用·随堂检测全达标1231.(例1对点题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.123证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.1231232.(例2对点题)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.123证明 如图所示,取线段BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取线段B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(1,0,0),D(-1,1,0), A1(0,2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0).1231233.(例3对点题)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD, AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE= AD.求证:平面AMD⊥平面CDE.123证明 如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴.又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE⊂平面CED,∴平面AMD⊥平面CDE.