第一章 空间向量与立体几何复习 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章  空间向量与立体几何    章节复习   

夯实、拓展、感悟与提升

一、夯实双基，逐层认知

本章知识网络

重点1  空间向量的运算

【空间向量的数乘运算】

例1（1） 在三棱锥中，若是正三角形，为其中心，则化简的结果为______. 

【解析】延长交边于点,则，

，

所以

【答案】

【空间向量的数量积运算】

例1（2）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是，的中点，

则的值为_________.

【解析】根据题意为正四面体，

两两成角，

所以，

，

所以

.

【答案】

【投影向量】

例1（3）设平面向量满足，，，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为，，

所以在方向上的投影向量为. 故选A.

重点2  空间向量及其运算的坐标表示

例2（多选）以下结论中，正确的是（       ）

A.已知向量,则正实数

B. 已知, 为原点，则与的夹角大小为

C. 从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为

D. 已知向量若，则

【解析】对于A，由已知，，所以，解得，正确；

对于B，，所以，正确；

对于C，设，则,即.

因为|，所以，解得，所以，

所以，正确；

对于D，，因为，

所以，解得，故D错，故选ABC

重点3  空间中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角或其夹角

例3  （多选）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，下列结论中正确的是（       ）

A. 异面直线与所成角的余弦值为        B. 与侧面所成角的正弦值等于

C. 二面角的夹角的余弦值为      D. 平面与平面所成角的正切值为2

【解析】如图,以中点为原点建立空间直角坐标系，设，则

，

，

对于A，，正确；

对于B，设与平面所成的角为,易知为平面的一个法向量.则

，正确；

对于C，设是平面的法向量，则

由，令，则，

又知是平面的一个法向量，所以二面角的夹角的余弦值为

，正确；

对于D，是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，

设平面与平面所成角为，则

，所以，故选ABCD

重点4  空间中的距离问题

例4 如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，

点为中点，点为中点．

（1）求证：平面；

（2）求点到直线的距离．

（3）求直线到平面的距离；

（4）点到平面的距离.

【解析】（1）如图，取中点为，连接，

因为点为中点，点为中点，

所以，所以，

四边形是平行四边形，所以

又平面，平面

所以平面

（2）取中点，连接、，则，

∵，，，

由余弦定理，

∴，

又平面平面，平面平面，

∴平面，

∵是等边三角形，∴，

如图建立空间直角坐标系，则

∴，

∴，

∴点到直线的距离为

.

（3）设是平面的法向量，

由，

令，则，所以是平面的一个法向量

点到平面的距离为

因为平面，所以直线到平面的距离为.

（4）设是平面的法向量，

由，

令，则，所以是平面的一个法向量

点到平面的距离为

二、拓展思维，熟知方法

重点5   空间向量的应用

例5（定位问题、二面角问题）如图，四棱锥中，底面，

，为的中点，．

（1）求的长；

（2）求二面角的正弦值．

【解析】（1）如图，连接交于，因为，即为等腰三角形．

又平分，故．

以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，而，得，又，

故．

因平面，可设，由为边中点，.

又＝，，

因为，所以·，即，(舍去)，

所以||＝.

（2）由（1）知，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，得，可取为平面的一个法向量

由，得 可取为平面的一个法向量．

所以，所以

所以二面角的正弦值为.

三、感悟问题，提升能力

1. （线线垂直，线面角、存在性问题）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，

侧面底面，点在线段上，且满足.

（1）求证：

（2）当取何值时，直线与平面所成角为.

【解析】（1）如图，取的中点，连接

因为为等边三角形，所以，

又侧面底面，

所以平面，

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴，

建立空间直角坐标系，则，

  ，，

  所以,  即

（2）因为，，所以，

        又，所以，

又平面的一个法向量，

直线与平面所成角为,，

所以，

化简得，解得或（舍）.

所以，当时，直线与平面所成角为. 

2. （折叠问题、线面垂直、二面角）已知直角梯形，是边上的中点，，，将沿折到的位置，使，点在上，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【解析】（1）由已知，，为正方形，

所以，，四边形是边长为2的正方形，

因为，且，

所以平面， 又平面，

所以,又，且，

所以⊥平面.

（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则

，

易知是平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

由，令，则，

所以是平面的一个法向量

所以

所以二面角的余弦值为．

3. （线面平行、二面角、定位问题）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，

平面，，，是的中点，是线段上的点．

（1）当是的中点时，求证：平面；

（2）要使二面角的大小为，试确定点的位置．

【解析】（1）方法一：如图，取的中点，连接．

由已知得且，

又是的中点，则且，

所以是平行四边形   

∴，又平面，平面

       平面

方法二：由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，则，所以，，，

设是平面的法向量

由，令，则，

所以平面的一个法向量

由，得

又平面，

所以平面

（2）由已知可得平面的一个法向量为，

设，设是平面的法向量

由，令，则，

所以是平面的一个法向量

由已知，， 解得

所以，要使二面角的大小为，只需.

4. （数学文化、二面角问题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

（1）证明：⊥平面，试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由.

（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值.

【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设，则

，

于是，所以

又已知，而，

所以⊥平面.

因为，所以，又

所以平面

由平面，⊥平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.

（2）由平面，所以是平面的一个法向量;

由（1）知⊥平面.，所以是平面的一个法向量.

若面与面所成二面角的大小为，则

解得，所以

所以当面与面所成二面角的大小为时，.