高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何复习 教案

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第一章 空间向量与立体几何 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 空间向量的运算【空间向量的数乘运算】例1（1） 在三棱锥中，若是正三角形，为其中心，则化简的结果为______. 【解析】延长交边于点,则，，所以【答案】【空间向量的数量积运算】例1（2）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是，的中点，则的值为_________.【解析】根据题意为正四面体，两两成角，所以，，所以.【答案】【投影向量】例1（3）设平面向量满足，，，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【解析】因为，，所以在方向上的投影向量为. 故选A.重点2 空间向量及其运算的坐标表示例2（多选）以下结论中，正确的是（ ）A.已知向量,则正实数B. 已知, 为原点，则与的夹角大小为C. 从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为D. 已知向量若，则【解析】对于A，由已知，，所以，解得，正确；对于B，，所以，正确；对于C，设，则,即.因为|，所以，解得，所以，所以，正确；对于D，，因为，所以，解得，故D错，故选ABC重点3 空间中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角或其夹角例3 （多选）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，下列结论中正确的是（ ）A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 与侧面所成角的正弦值等于C. 二面角的夹角的余弦值为 D. 平面与平面所成角的正切值为2【解析】如图,以中点为原点建立空间直角坐标系，设，则 ，，对于A，，正确；对于B，设与平面所成的角为,易知为平面的一个法向量.则，正确；对于C，设是平面的法向量，则由，令，则，又知是平面的一个法向量，所以二面角的夹角的余弦值为，正确；对于D，是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则，所以，故选ABCD重点4 空间中的距离问题例4 如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为中点，点为中点．（1）求证：平面；（2）求点到直线的距离．（3）求直线到平面的距离；（4）点到平面的距离.【解析】（1）如图，取中点为，连接，因为点为中点，点为中点，所以，所以，四边形是平行四边形，所以又平面，平面所以平面（2）取中点，连接、，则，∵，，，由余弦定理，∴，又平面平面，平面平面，∴平面，∵是等边三角形，∴，如图建立空间直角坐标系，则 ∴，∴，∴点到直线的距离为.（3）设是平面的法向量，由，令，则，所以是平面的一个法向量点到平面的距离为因为平面，所以直线到平面的距离为.（4）设是平面的法向量，由，令，则，所以是平面的一个法向量点到平面的距离为二、拓展思维，熟知方法重点5 空间向量的应用例5（定位问题、二面角问题）如图，四棱锥中，底面，，为的中点，．（1）求的长；（2）求二面角的正弦值．【解析】（1）如图，连接交于，因为，即为等腰三角形．又平分，故．以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，而，得，又，故．因平面，可设，由为边中点，.又＝，，因为，所以·，即，(舍去)，所以||＝.（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，可取为平面的一个法向量由，得 可取为平面的一个法向量．所以，所以所以二面角的正弦值为.三、感悟问题，提升能力1. （线线垂直，线面角、存在性问题）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面，点在线段上，且满足.（1）求证：（2）当取何值时，直线与平面所成角为.【解析】（1）如图，取的中点，连接因为为等边三角形，所以，又侧面底面，所以平面，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则， ，， 所以, 即（2）因为，，所以， 又，所以，又平面的一个法向量，直线与平面所成角为,，所以，化简得，解得或（舍）.所以，当时，直线与平面所成角为. 2. （折叠问题、线面垂直、二面角）已知直角梯形，是边上的中点，，，将沿折到的位置，使，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）由已知，，为正方形，所以，，四边形是边长为2的正方形，因为，且，所以平面， 又平面，所以,又，且，所以⊥平面. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，由，令，则，所以是平面的一个法向量所以所以二面角的余弦值为．3. （线面平行、二面角、定位问题）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上的点．（1）当是的中点时，求证：平面；（2）要使二面角的大小为，试确定点的位置．【解析】（1）方法一：如图，取的中点，连接．由已知得且，又是的中点，则且，所以是平行四边形 ∴，又平面，平面 平面方法二：由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，则，所以，，，设是平面的法向量由，令，则，所以平面的一个法向量由，得又平面，所以平面（2）由已知可得平面的一个法向量为，设，设是平面的法向量由，令，则，所以是平面的一个法向量由已知，， 解得所以，要使二面角的大小为，只需.4. （数学文化、二面角问题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.（1）证明：⊥平面，试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由.（2）若面与面所成二面角的大小为，求 QUOTE DCBC 的值.【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设，则，于是，所以又已知，而，所以⊥平面.因为，所以，又所以平面由平面，⊥平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.（2）由平面，所以是平面的一个法向量;由（1）知⊥平面.，所以 QUOTE BP→ 是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为，则解得，所以所以当面与面所成二面角的大小为时，.