模块复习课(一) 空间向量与立体几何-【优化指导】新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）（课件+练习）

单元素养强化(一)　空间向量与立体几何

[对应学生用书P130]

1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)

A．＝－＋　　 B．＝－

C．＝＋     D．＝－

A　[＝＋＝＋＝＋(－)

＝－＝－＋.]

2．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)

A．不共面     B．共面

C．不一定共面     D．无法判断

B　[∵＋＋＝1，∴点P，A，B，C四点共面．]

3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)

A．|b|＝1     B．a⊥b

C．a·b＝1     D．(4a＋b)⊥

D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥.]

4．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

D　[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，

∴cos 〈a，b〉＝＝＝.

又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.]

5．(多选题)(2019·江苏徐州高二期末)下列命题中正确的是(　　)

A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N四点共面

B．已知{a，b，c}为空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的基底

C．若直线l的方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的法向量为n＝(－2，0，)，则直线l∥α

D．若直线l的方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为

ABD　[对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则，，共面，则A，B，M，N四点共面，故A对；

对于B，已知为空间的一个基底，则a，b，c不共面，若m＝a＋c，则a，b，m也不共面，则也是空间的基底，故B对；

对于C，因为e·n＝1×(－2)＋0×0＋3×＝0，则e⊥n，若l⊄α，则l∥α，但选项中没有条件l⊄α，有可能会出现l⊂α，故C错；

对于D，∵cos 〈e，n〉＝＝＝，则直线l与平面α所成角的正弦值为，故D对．故选A、B、D.]

6．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　 )

A．      B．      C．      D．

A　[∵AB＝1，AC＝2，BC＝，

AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC.

∵三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.

以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，则A(0，1，0)，C(，0，0).设B1(0，0，a)，则C1(，0，a)，

∴D，E，

∴＝，平面BB1C1C的法向量＝(0，1，0).

设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α，

则sin α＝|cos 〈，〉|＝，∴α＝.]

7．(多选题)(2020·福建福州高二期末)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．A1C1∥平面CEF

B．B1D⊥平面CEF

D．点D与点B1到平面CEF的距离相等

AC　[对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，

故EF∥A1C1，又A1C1⊄平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立．

对B，建立如图空间直角坐标系，

设正方体ABCD­A1B1C1D1边长为2

＝0－1＋4＝3≠0.

又CF⊂平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立．

＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2).

对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等则点D与点B1中点O在平面CEF上．

连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.

又点D与点B1中点O在平面A1ACC1上，故点O不在平面CEF上．故D不成立．故选A、C.]

8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．

或　[由OP⊥OQ，得·＝0.

即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.

∴cos x＝0或cos x＝.

∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.]

9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．

　[取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)，

F(，1，0)，D1(0，1，1).

所以点F到平面A1D1E的距离

10．(2020·浙江瑞安高一期末)如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．

　　[(1)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1)，

设异面直线A1E、CF所成角的大小为θ，所以cos θ＝

因为θ∈，所以θ＝.

(2) 设平面A1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，

令x＝1，则m＝(1，2，3)，

平面A1B1C1D1一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，

所以cos α＝＝＝.]

11．如图所示，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.

(1)求证：B1D⊥平面ABD；

(2)求证：平面EGF∥平面ABD.

证明　(1)如图所示，建立空间直角坐标系，

设A1(a，0，0)，则B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G.

∴＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)，

＝(0，2，－2).

0＋4－4＝0.

∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.

又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，∴B1D⊥平面ABD.

(2)∵＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，

＝，＝(0，1，－1)，

∴＝，＝.∴GF∥AB，EF∥BD.

又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，

∴平面EGF∥平面ABD.

12．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，CC1的中点．

(1)求证：EF∥平面ACD1；

(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；

(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得平面ACP与平面ABC的夹角的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

(1)证明　如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，F(0，2，1).

取AD1的中点G，则G(1，0，1)，＝(1，－2，1).

又＝(－1，2，－1)，

∴＝－，∴与共线．

从而EF∥CG.

∵CG⊂平面ACD1，EF⊄平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1.

(2)解　∵＝(0，2，0)，

cos 〈，〉＝＝＝，

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为.

(3)解　假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，t)(0＜t≤2)，平面ACP的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则∵＝(0，2，t)，＝(－2，2，0)，

∴取n＝(1，1，－).

易知平面ABC的一个法向量BB1＝(0，0，2).

∴|cos 〈BB1，n〉|＝＝.

即＝(2＋)，解得t＝.∵∈(0，2]，

∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，平面ACP与平面ABC的夹角的大小为30°.