人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步测试题，共11页。试卷主要包含了[探究点二]已知双曲线C，[探究点一]如图,双曲线C，[探究点一]已知F为双曲线C，[探究点三]双曲线C，故选C等内容，欢迎下载使用。
第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质A级  必备知识基础练1.[探究点三](多选题)设双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率e可以为(　　)A. B. C. D.22.[探究点二]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为(　　)A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x3.[探究点一]如图,双曲线C:=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是(　　)A.3 B.4 C.6 D.84.[探究点一]已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点, |PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为4,则双曲线C的实轴长为(　　)A.1 B.2 C.4 D.65.[探究点三]两个正数a,b的和为5,积为6,且a>b,则双曲线=1的离心率e=　　　　　,渐近线方程为　　　　　. 6.[探究点一]已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　　. 7.[探究点三]双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则双曲线C的离心率为　　　　　. 8.[探究点二]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线. 9.[探究点四]双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积. B级  关键能力提升练10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于(　　)A.-1 B. C.+1 D.+211.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过双曲线的右焦点F,则双曲线的离心率为(　　)A.+1 B.+1 C.2 D.12.[2023浙江宁波期末]已知椭圆C和双曲线E具有相同的焦点,离心率分别为e1,e2,椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,则(　　)A.e1e2=1 B.e1e2=C.e1=3e2 D.e1+e2=13.已知双曲线的方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=014.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　)A.-y2=1 B.=1C.=1 D.=115.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是(　　)A.双曲线C的渐近线方程为y=±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.△PF1F2的面积为116.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为　　　　　;C的方程为　　　　　　　　. 17.已知F为双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是　　　　　. 18.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程;(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长. C级  学科素养创新练19.[2023山东日照期末]已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,双曲线上的点P到原点的距离为b,且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则该双曲线的渐近线方程为(　　)A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x 答案：1.AC　当焦点在x轴上时,,所以e2=1+=1+,所以e=;当焦点在y轴上时,,所以e2=1+=1+4=5,所以e=.2.C　已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,故有,所以,解得.故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选C.3.C　设F2为右焦点,连接P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.4.C　由题意知,点P在双曲线C的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=3|PF2|,∴|PF2|=a,|PF1|=3a.又e=,∴|F1F2|=2c=2a.则在△PF1F2中,cos∠F1PF2==-,∴sin∠F1PF2=,故·a·3a·=4,解得a=2(负值舍去),∴实轴长为2a=4.故选C.5.　y=±x　由解得又a>b,∴a=3,b=2,∴c=,∴e=.渐近线方程为y=±x.6.44　由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上,由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.7.　不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a,由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,即c=a,可得e=.8.解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.9.解由题意得,双曲线=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=,y=-,所以B.所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×.10.C　不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去).故选C.11.B　设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=.设右焦点坐标为F(c,0),c>0,由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.故c=+1,故选B.12.B　不妨设椭圆C和双曲线E的焦点在x轴上,由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,设双曲线的实轴长为2a,则椭圆的长轴长为6a,则椭圆的左、右顶点分别为(-3a,0),(3a,0),双曲线左、右顶点分别为(-a,0),(a,0),椭圆以及双曲线的左、右焦点均分别为(-2a,0),(2a,0),所以e1=,e2==2,所以e1e2=,故A错误,B正确;e2=3e1,故C错误;e1+e2=,故D错误.故选B.13.A　设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2=2,2=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0,即kPQ=.因此直线PQ的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.14.ABD　依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知A,B,D均可能.15.ACD　易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(-,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d==1,故C正确;由=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由得y2=,故|y|=,因此,|F1F2|·|y|=×2=1,故D正确.故选ACD.16.(,0)　=1　由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k==tan =1,解得a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),C的方程为=1.17.　如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x,则F(c,0)到渐近线的距离d==b,即|FA|=|FD|=b.又|OF|=|FB|=c,∴|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.∵△OFB为等腰三角形,∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,∴c=2b.则2a=c,∴e=.18.解(1)∵点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.|AB|=2>2,∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,∴点C的轨迹方程是x2-=1.(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.∴联立得x2+4x-6=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,∴|DE|==4.故线段DE的长为4.19.A　由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在y轴上,设F1为双曲线的下焦点,F2为双曲线的上焦点,过点P作PH⊥F1F2于点H(图略).因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以=3,|PF1|=3|PF2|.由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a.因为双曲线上的点P到原点O的距离为b,即|PO|=b,且|OF2|=c,所以|PF2|2+|PO|2=a2+b2=c2=|OF2|2,∠OPF2=90°,故|OP||PF2|=|OF2||HP|,|HP|=.因为|HO|2+|HP|2=|OP|2,所以|HO|=.所以P,将P代入双曲线=1中,即=1,化简得b4-a4=a2c2.又c2=a2+b2,所以b4-a4=a2(a2+b2),b4-a2b2-2a4=0,-2=0,=0,解得=2或-1(舍去),则,则该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选A.