高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时作业

第三章3.3.2　抛物线的简单几何性质

A级  必备知识基础练

1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)

A.2 B.1

C.4 D.8

2.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有(　　)

A.4条 B.3条 

C.2条 D.1条

3.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为(　　)

4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为(　　)

A.y2=6x B.y2=8x

C.y2=16x D.y2=x

5.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 (　　)

A.2 B. 

C. D.3

6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=　　　. 

7.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是　　　　　. 

8.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若=3,求|AB|.

B级  关键能力提升练

9.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A. B.3 

C. D.

10.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l作垂线得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是(　　)

A.∠CFD=90° 

B.△CMD为等腰直角三角形

C.直线AB的斜率为± 

D.△AOB的面积为4

11.已知A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)

A. B.+1

C. D.-1

12.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.

(1)求直线l的方程.

(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.

13.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,圆M过点A,B且与直线x+2=0相切.

(1)若点A在直线x+y=0上,求圆M的半径.

(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.

参考答案

3.3.2　抛物线的简单几何性质

1.C　抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+=8,所以p=4,所以焦点F到抛物线准线的距离等于4.

2.B　当过点P(0,1)的直线斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由方程组消去y,得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个公共点;

若k≠0,则令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点.

当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,

该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个公共点.

综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有3条.

3.D　(方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为=1与y2=-x.

因为a>b>0,所以>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.

(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.

4.B　设点M(xM,yM),

则由|MF|=4|OF|得xM+=4×,

即xM=p,则=3p2,

则|yM|=p,则S△OMF=p=4,

解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.

5.A　由得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故方程无解,

则直线3x+4y+12=0与抛物线相离.

又d1+d2=d1+1+d2-1,

而d1+1为点P到准线x=-1的距离,

故d1+1等于点P到焦点F(1,0)的距离,

从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离,即=3,故d1+d2的最小值为2.

6.2　(方法1)根据过焦点的弦长公式可知|AB|==8,解得p=2.

(方法2)∵点F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.

设点A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知

xA+xB=3p,xAxB=.

|AB|==4p=8,

解得p=2.

7.4　根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为(y0>0),则有tan,解得y0=2,故边长为4.

8.解 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.

由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,

则Δ=144(t-1)2-144t2>0,即t<,

x1+x2=-.

从而-,得t=-.

所以l的方程为y=x-.

(2)由=3可得y1=-3y2.

由可得y2-2y+2t=0.

所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.

代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.

9.D　设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),把x=ty+m代入y2=x,

可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.

∵=6,∴x1x2+y1y2=6,

从而(y1y2)2+y1y2-6=0.

∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,故m=3.

不妨设点A在x轴上方,则y1>0,

又F,y2=-,

∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+y1=y1+≥2,

当且仅当y1=,即y1=时,等号成立.

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是.

10.AC　由y2=4x,得2p=4,即p=2,

∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.

设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

由得y2-4my-4=0,

∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.

从而x1+x2=4m2+2, ①

x1x2=1. ②

又|AF|=3|BF|,∴x1+=3x2+,

即x1=3x2+2. ③

将③代入①,得x2=m2.将③代入②,得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去).

∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,故C正确;

C(-1,y1),D(-1,y2),∴=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;

M(2m2+1,2m),

∴=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误;S△AOB=|OF||y1-y2|=,故D错误.故选AC.

11.B　由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,

从而A(0,-1),如图所示.

过点P作PQ⊥l于点Q,设∠PAQ=θ.

∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,

∴m=.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),由得x2-4kx+4=0,

由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,

不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).

设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).

在双曲线=1(a>0,b>0)中,2c=2,

即c=1,

2a=|PA|-|PB|=2-2,即a=-1,

∴离心率e=+1.故选B.

12.解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.

设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.

判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,

由8m=4,得m=,

所以直线l的方程为2x-y-2=0.

(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,

则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,

消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,

其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,

则n>-4. (*)

又因为xC+xD=4(n+8),

所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.

13.解 (1)因为圆M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以圆心M在直线y=x上,故可设M(a,a).

因为圆M与直线x+2=0相切,所以圆M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故圆M的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下:

设M(x,y),由已知得圆M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.

因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.

因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.