高考数学一轮复习考点突破讲与练 第4章 第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及3角函数模型的简单应用 (含解析)

这是一份高考数学一轮复习考点突破讲与练 第4章 第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及3角函数模型的简单应用 (含解析)，共17页。

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[考纲要求]
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．　　
突破点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象


1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝

φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ




2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)
(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
答案：(1)×　(2)×
二、填空题
1．函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初相为________．
答案：　　
2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．
答案：y＝1＋cos 2x
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．

答案：


考法一　函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换　
1．“五点法”画图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
[例1]　(2019·大庆实验中学期初)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(　　)
A．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
C．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
[解析]　由已知得，ω＝＝2，则f(x)＝cos的图象可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到，故选D.
[答案]　D
[例2]　(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
[解]　(1)f(x)＝4cos xsin＋a
＝4cos x·＋a
＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a，
∵f(x)的最大值为2，
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：

[方法技巧]　三角函数图象变换的两个要点
常规方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向
方程思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin2x＋，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度
考法二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式　
[例3]　(1)(2018·怀仁期末联考)若函数f(x)＝sin(ωx－φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值是(　　)

A．ω＝1，φ＝　　　　 B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f(x)＝Asinx＋φ，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR⊥x轴于点R，点R的坐标为(1,0)．若∠PRQ＝，则f(0)＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)由图象可知，函数的周期为4－＝4π，所以ω＝＝，将代入y＝sin，又|φ|≤，得φ＝－，故选D.
(2)过点Q作QH⊥x轴于点H.设P(1，A)，Q(a，－A)．由函数图象得2|a－1|＝＝6，即|a－1|＝3.因为∠PRQ＝，所以∠HRQ＝，则tan∠QRH＝＝，解得A＝.又P(1，)是图象的最高点，所以×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，f(0)＝sin ＝.故选B.
[答案]　(1)D　(2)B


[方法技巧]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　

1.将函数f(x)＝cos 2x－sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A．F(x)是奇函数，最小值是－2
B．F(x)是偶函数，最小值是－2
C．F(x)是奇函数，最小值是－
D．F(x)是偶函数，最小值是－
解析：选C　f(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，则F(x)＝cos＝ cos＝－sin 2x，故选C.
2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为6π，将其图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin ωx的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得＝6π，∴ω＝.∴f(x)＝sin.将其图象向右平移 个单位长度后得到的
函数图象的解析式为g(x)＝sin＝sin＝sin x，∴φ－＝2kπ(k∈Z)．解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝.故选B.


3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)

A．y＝－cos 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图知，T＝π－，得T＝π＝， ∴ω＝2；由f(x)的最大值为1，得A＝1，∴f(x)＝sin，将的坐标代入可得sin＋φ＝1，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.f(x)的图象向左平移个单位长度，可得g(x)＝sin2x＋＋＝sin的图象．故选C.
突破点二　三角函数模型的简单应用
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C，是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为
C(t)＝
这里的t是午夜后的小时数，m是一个实常数．
(1)求m的值；
(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t；
(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．
解：(1)因为C(t)是一个连续的函数，所以当t＝8时，得到C(8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m，即m＝8 000.
(2)当cos ＝－1时，C达到最小值．即＝(2k＋1)π，k∈Z，解得t＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.
(3)令1 0002－1 000≤1 250，
则2≤2.25，∴cos ≤－0.5.
即2kπ＋π≤≤2kπ＋π，k∈Z，
4k＋≤t≤4k＋，k∈Z.
又8≤t≤16，∴tmin＝，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．

解决三角函数实际应用题的4个注意点
(1)活用辅助角公式准确化简；
(2)准确理解题意，实际问题数学化；
(3)“ωx＋φ”整体处理；
(4)活用函数图象性质，数形结合．

1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos×4＝20.5.
答案：20.5
2.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)由图象可知，8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．(2019·七台河联考)已知函数f(x)＝cos，则以下判断中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象可由函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．函数f(x)的图象可由函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
C．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
解析：选A　因为f(x)＝cos，所以函数f(x)的图象可由函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到，故选A.
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．1 D.
解析：选D　由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
4.(2019·贵阳检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)

A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　由题意，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
5.(2019·武汉一中模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则f(2 019)＝(　　)

A．1 B.
C. D.


解析：选C　由函数图象可知最小正周期T＝4，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，观察图象可知f(3)＝，所以f(2 019)＝.故选C.
6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．
解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．
答案：6 000
[B级　保分题——准做快做达标]
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
2．(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减
解析：选A　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．
3．(2019·大同一中质检)将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
解析：选B　函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.
4.(2019·日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B　由题图知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将代入得cos＝1，∵－π<φ<0，∴－<＋φ<，∴＋φ＝0，∴φ＝－，∴f(x)＝2cos＝2sin，故将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象．
5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　依题意得f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2cos，且函数f＝ 2cosω＋＝2cos是偶函数，于是有＋＝kπ，k∈Z，即ω＝ ，k∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是＝，选B.
6．(2019·绵阳一诊)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝0
解析：选B　函数f(x)＝2sin的最大值为2，由＝1可得函数f(x)的周期T＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f(x)＝2sin.将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)＝2sin＝2sin，当x＝时，g＝2sin＝2，为函数的最大值，故直线x＝为函数y＝g(x)图象的一条对称轴．故选B.
7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，φ∈的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x

解析：选A　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sinx＋.则g(x)＝2sin＝2cos x.故选A.
8.(2019·北京东城期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A，B两点间距离为5，则ω＋φ＝________.
解析：∵AB＝5＝ ，∴T＝6＝，∴ω＝.∵f(2)＝－2，∴π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝π，∴φ＋ω＝π.
答案：π
9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且图象过点，则函数f(x)＝____________.
解析：依题意得 ＝2，ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sin.因为该函数图象过点，所以sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝.因为－≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin.
答案：sin
10．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1A>0，ω>0，0<φ<的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋A>0，ω>0，0<φ<的最大值为3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cosx＋＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＋2×2 018＝－504×0－sin－ sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.
答案：4 035
11.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若α为第二象限角且sin α＝，求f(α)的值．
解：(1)由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝π，∴ω＝＝2.
又∵函数f(x)的图象过点，且点处于函数图象下降部分，
∴2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝Asin.
∵函数图象过点(0,1)，∴Asin ＝1，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵α为第二象限角且sin α＝，∴cos α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，
∴f(α)＝2sin＝2sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝2＝.
12．(2019·西安长安区质检)设函数f(x)＝sin－2cos2x.
(1)试说明y＝f(x)的图象由函数y＝sin x的图象经过怎样的变化得到；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0,1]时，求函数y＝g(x)的最值．
解：(1)∵函数f(x)＝sin－2cos2＝sin xcos －cos xsin －cos x－1＝sin x－cos x－1＝sin－1，∴把函数y＝sin 的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象．
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴g(x)＝f(4－x)＝sin－1＝sin x－1.
当x∈[0,1]时，x∈，故当x＝0时，函数y＝g(x)取得最小值－1；当x＝1时，函数y＝g(x)取得最大值.
[C级　难度题——适情自主选做]
1．(2019·惠州调研)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意可得，g(x)＝2sin＋1，所以g(x)max＝3，又g(x1)·g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝3，由g(x)＝2sin＋1＝3，得2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)，因为x1，x2∈[－2π，2π]，所以(2x1－x2)max＝2×－＝，故选B.
2．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<，给出以下四个论断：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间上是增函数；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线x＝对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)
解析：若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．同时若f(x)的图象关于直线x＝对称，则sin＝±1，又－<φ<，∴2×＋φ＝，
∴φ＝，此时f(x)＝sin，②③成立，故①④⇒②③.若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)，同时若f(x)的图象关于点对称，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，又－<φ<，∴φ＝，此时f(x)＝sin，②④成立，故①③⇒②④.
答案：①④⇒②③或①③⇒②④
3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).
则下列叙述正确的是________．
①R＝6，ω＝，φ＝－；
②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；
③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；
④当t＝20时，|PA|＝6.
解析：①由点A(3，－3)，可得R＝6，
由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，
由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，
则φ＝－，故①正确；
②由①知，f(t)＝6sin，
当t∈[35,55]时，t－∈，
即当t－＝时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；
③当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；
④f(t)＝6sin，
当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，
则∠AOP＝，所以|PA|＝6，故④正确．
答案：①②④