新高考数学一轮复习课时讲练 第4章 第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第4章 第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (含解析)，共25页。试卷主要包含了y＝Asin的有关概念，某地农业监测部门统计发现等内容，欢迎下载使用。

第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用


1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)


[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
[教材衍化]
1．(必修4P58A组T3改编)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π，　　　　　　 B．2，，
C．2，，－ D．2，4π，－
解析：选C.由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
2．(必修4P62例4改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为____________________．

解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝2π＋2k，k∈Z，取φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈.
答案：y＝10sin＋20，x∈
[易错纠偏]
(1)搞错图象平移的单位长度；
(2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；
(3)搞不清f(x)在x＝处取最值；
(4)确定不了解析式中φ的值．
1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选D.函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin，
故选D.
2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．
解析：根据函数图象变换法则可得．
答案：y＝sinx
3．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
解析：由题意知当x＝时，函数取得最大值，所以有sin ＝1，所以＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝.
答案：
4．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．
解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.
答案：


　　　　　　五点法作图及图象变换
(1)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位　 　 　 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
①求f(x)的解析式；
②作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
【解】　(1)选C.因为y＝sin＝
cos[－(2x－)]＝cos＝cos＝cos[2(x－)]，将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，可以得到y＝cos的图象，即y＝sin(2x－)的图象，故选C.
(2)①因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以ω＝2.
又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
②因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，
列表如下：
2x＋


π

2π

x
0




π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象：


(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
②图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．　
(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点
①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
③由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为而不是|φ|.

1．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)函数y＝sin
的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点中心对称(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B.假设将函数y＝sin的图象平移ρ个单位长度得到y＝sin关于点中心对称，
所以将x＝－代入得到sin＝sin＝0，
所以＋2ρ＝kπ，k∈Z，
所以ρ＝－＋，
当k＝0时，ρ＝－.
2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin
＝sin的图象，即曲线C2，故选D.

　　　　　　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
(1)(2020·温州市十校联合体期初)函数y＝f(x)在区间上的简图如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝sin　　　　 B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象的一部分如图所示，则f(x)的表达式为________．

【解析】　(1)由图象知A＝1，
因为＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2，
所以函数的解析式是y＝sin(2x＋φ)，
因为函数的图象过点，
所以0＝sin，
所以φ＝kπ－，k∈Z，
所以当k＝0时，φ＝－，
所以函数的解析式是y＝sin，故选B.
(2)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1，
则A＝＝2，b＝＝1，
又T＝2＝π，
所以ω＝＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，
将x＝，y＝3代入上式，得sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin＋1.
【答案】　(1)B　(2)f(x)＝2sin＋1

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．　

1.(2020·宁波市高考模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
解析：选A.由图可得T＝－＝，所以T＝π，所以T＝＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f(x)的图象经过点，所以f＝2sin＝2，所以sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.
2．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|＝.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的最大值．
解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM(图略)，则由已知得|PM|＝2，|PQ|＝，由勾股定理得|QM|＝3，所以T＝6，
又T＝，所以ω＝，
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)将函数y＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝sinx.
函数h(x)＝f(x)·g(x)＝sinsin x
＝sin2x＋sinxcos x
＝＋sin x
＝sin＋.
当x∈[0，2]时，x－∈，
所以当x－＝，
即x＝1时，h(x)max＝.

　　　　　　三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)
三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．主要命题角度有：
(1)图象变换与函数性质；
(2)恒等变换与函数性质；
(3)三角函数图象与性质；
(4)三角函数性质与平面向量；
(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．
角度一　图象变换与函数性质
将函数f(x)＝cos 2x－sin 2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数F(x)是奇函数，最小值是－2
B．函数F(x)是偶函数，最小值是－2
C．函数F(x)是奇函数，最小值是－
D．函数F(x)是偶函数，最小值是－
【解析】　f(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，将f(x)的图象向左平移个单位后得F(x)的图象，则F(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，所以F(x)是奇函数，最小值为－.故选C.
【答案】　C
角度二　恒等变换与函数性质
(2019·高考浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域．
【解】　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，
所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，函数的值域是.
角度三　三角函数图象与性质
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：

①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值为2；
③f＝1；④f为奇函数．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　由图知，周期T＝2＝π，
则ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝.
由f(0)＝，得Asin＝，即A＝2.
所以f(x)＝2sin，则f＝2sin(＋)＝2cos＝1，f＝2sin＝2sin 2x为奇函数．所以四个结论都正确．
【答案】　D

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心．
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．　

1．(2020·宁波市十校联考模拟)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝π　　　　　　　　 B．x＝－π
C．x＝π D．x＝π
解析：选A.将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝kπ＋，求得x＝＋，k∈Z，可得所得函数图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，令k＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x＝，故选A.
2．(2020·杭州市高三期末检测)设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象相邻的两个交点，若|AB|min＝2π，则正实数ω＝(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选B.函数f(x)＝sin|ωx|＝，ω为正数，所以f(x)的最小值是－1，如图所示：

设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象相邻的两个交点，且|AB|min＝T＝＝2π，
解得ω＝1.故选B.
3．(2020·宁波市高考模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为______，振幅的最小值为________．
解析：函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，
化简可得：f(x)＝sin(2x＋θ)＝sin(2x＋θ)，其tan θ＝.
函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
振幅为 ，
当a＝－时，可得振幅的最小值.
答案：π　

核心素养系列8　数学建模——三角函数实际问题中的核心素养
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b(A>0，ω>0)的图象．根据以上数据，
(1)求函数f(t)的解析式；
(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．
【解】　(1)由表格得解得
又因为T＝12，所以ω＝＝，
故y＝f(t)＝cost＋1.
(2)由题意，令cost＋1>1.25.
即cost>，
又因为t∈[0，24]，所以t∈[0，4π]，
故0≤t<或 即0≤t<2或10 所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．
如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．

【解】　连接MP(图略)．
依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4，3)．又P(8，0)，
所以|MP|＝＝5.
即M，P两点相距5 km.

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．　

[基础题组练]
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.
2．(2020·温州瑞安七中高考模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．0 D．－
解析：选B.令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，则f＝sin＝sin，因为f为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，所以φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝.故φ的一个可能的值为.故选B.
3．(2020·湖州市高三期末考试)若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1 D．y＝sin－1
解析：选B.函数y＝sin x的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 2x，沿y轴向上平移1个单位，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1.故选B.
4．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在x＝时取得最大值，且它的最小正周期为π，则(　　)
A．f(x)的图象过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的图象的一条对称轴是x＝
解析：选C.因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，
所以T＝＝π，
所以ω＝2，即函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，
又因为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)在x＝时取得最大值，
所以sin＝±1，
即2×＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，
又因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝Asin，其中A<0；
对于选项A，因为f(0)＝Asin＝≠，
所以选项A不正确；
对于选项B，因为函数f(x)＝Asin的单调递增区间满足＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
所以f(x)在上是增函数，所以选项B不正确；
对于选项C，因为f＝Asin＝0，
所以f(x)的一个对称中心是，即选项正确；
对于选项D，因为f＝Asin＝0，
所以x＝不是f(x)图象的一条对称轴，即选项D错误．故选C.
5．(2020·杭州中学高三月考)将函数y＝2sin(ωx－)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.把函数y＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为
y1＝2sin＝2sin，
向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y2＝2sin＝2sin.
因为所得的两个图象对称轴重合，
所以ωx＋π＝ωx－π①，或ωx＋π＝ωx－π＋kπ，k∈Z②.
解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k，k∈Z.
所以ω的最小值为2.故选C.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则函数y＝f(x)＋ω图象的对称中心的坐标为(　　)

A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析：选D.由题图可知＝－＝，所以T＝3π，又T＝，所以ω＝，所以f(x)＝2sin，因为f(x)的图象过点，所以2sin＝2，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，则函数y＝f(x)＋图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．
7．(2020·金丽衢十二校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<，f(x)的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________．
解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝且|φ|<得到φ＝.
答案：2　
8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个函数来近似描述收购价格y(元/斤)与相应月份x之间的函数关系为________．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，
所以ω＝，所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cosx.
答案：y＝6－cosx
9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)＝________．

解析：因为图象经过点A(0，1)，B，
A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以＝＝，解得ω＝3.
又因为图象经过点A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
所以1＝2sin φ，即sin φ＝，
所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝，
所以f(x)＝2sin.
答案：2sin
10．函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．

解析：由题图可知，M，N(xN，－1)，
所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，
解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
答案：3
11．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)．

(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5 ]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6，
所以ω＝，所以y＝10sin＋b.①
ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.
当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，
所以解析式为y＝10sin＋20，t∈[6，14]．
(2)由题意得，
20－5≤10sin＋20≤20＋5，
即－≤sin≤，
所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.
即8k－8≤t≤8k－4，
因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12，
所以最佳营业时间为12－8＝4小时．
12．已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．
(1)若α∈[0，π]且f(α)＝2，求α；
(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的最小值．
解：(1)f(x)＝sin x＋cos x
＝2＝2sin.
由f(α)＝2，得sin＝，
即α＋＝2kπ＋或α＋＝2kπ＋，k∈Z.
于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z.
又α∈[0，π]，故α＝.
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝2sin的图象，再将y＝2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y＝2sin的图象．由于y＝sin x的图象关于直线x＝kπ＋(k∈Z)对称，令2x－2θ＋＝kπ＋，
解得x＝＋θ＋，k∈Z.
由于y＝2sin的图象关于直线x＝对称，令＋θ＋＝，
解得θ＝－＋，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
[综合题组练]
1．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为　　(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，即ω＝，
所以f(x)＝2sin.
当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，
即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.
2．(2020·杭州市七校联考)已知函数y＝4sin，x∈的图象与直线y＝m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1 A. B.
C. D.
解析：选C.由函数y＝4sin的图象可得，当x＝和x＝时，函数分别取得最大值和最小值，
由正弦函数图象的对称性可得x1＋x2＝2×＝，x2＋x3＝2×＝.
故x1＋2x2＋x3＝＋＝，故选C.
3．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z.所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.设直线y＝－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以xA<π≤xB，即＋<π≤＋，计算得出<ω≤.
答案：
4．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为________．
解析：函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，
可得y＝2sin的图象，
再向下平移2个单位，
得到g(x)＝2sin－2的图象，
若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]，
则g(x1)＝g(x2)＝－4，
则2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，
即x＝－＋kπ，k∈Z，
由x1，x2∈[－2π，2π]，
得x1，x2∈，
当x1＝，x2＝－时，2x1－x2取最大值，故答案为.
答案：
5．(2020·温州中学高三模考)已知函数f(x)＝sincos＋cos2.
(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标；
(2)如果△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin＋＝sin＋cos＋＝sin＋，
由sin＝0即＋＝kπ(k∈Z)得x＝π，k∈Z，
即对称中心为，k∈Z.
(2)由已知b2＝ac，cos B＝＝≥＝，所以≤cos B<1，0，所以sin 即f(B)的范围是.
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋b(ω>0，－<φ<)相邻两对称轴间的距离为，若将f(x)的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g(x)为奇函数．
(1)求f(x)的解析式，并求f(x)的对称中心；
(2)若关于x的方程3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意可得＝＝，
所以ω＝2，
f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，
所以g(x)＝sin＋b－1
＝sin(2x＋＋φ)＋b－1.
再结合函数g(x)为奇函数，可得＋φ＝kπ，k∈Z，且b－1＝0，再根据－<φ<，
可得φ＝－，b＝1，
所以f(x)＝sin＋1，g(x)＝sin 2x.
令2x－＝nπ，n∈Z，可得x＝＋，
所以f(x)的对称中心(n∈Z)．
(2)由(1)可得g(x)＝sin 2x，在区间上，2x∈[0，π]，令t＝g(x)，则t∈[0，1]．
由关于x的方程3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0在区间上有两个不相等的实根，
可得关于t的方程3t2＋m·t＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．
令h(t)＝3t2＋m·t＋2，因为h(0)＝2>0，则满足h(1)＝3＋m＋2<0，或
解得m<－5或m＝－2.