高中数学高考6 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·豫南九校联考)将函数y＝sin(x－)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为(　　)

A．y＝sin(－) B．y＝sin(－)

C．y＝sin(－) D．y＝sin(2x－)

解析：选B.函数y＝sin(x－)经伸长变换得y＝sin(－)，再作平移变换得y＝sin[(x－)－]＝sin(－)．

2．(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度   B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度   D．向左平移个单位长度

解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝

cos，y＝cos＝cos，

所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象，故选B.

3．(2019·广州调研)将函数y＝2sin(x＋)cos(x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B.根据题意可得y＝sin(2x＋)，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin(2x＋＋2φ)的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝，故选B.

4．(2019·郑州质量预测)若将函数f(x)＝sin(2x＋)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)

A．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)

B．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

C．[kπ－，kπ－](k∈Z)

D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

解析：选A.将函数f(x)＝sin(2x＋)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋π)＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选A.

5．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝1，φ＝－ D．ω＝1，φ＝

解析：选A.函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y＝sin(ωx＋＋φ)．由函数的图象可知，＝－(－)＝，所以T＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ＋)．由图知当y＝－1时，x＝×(－)＝，所以函数的图象过(，－1)，

所以sin(＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝.故选A.

6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于(　　)

A. B.

C.＋2 D．1

解析：选C.由题图知A＝2，＝6－2＝4，所以T＝8，则ω＝＝.

所以y＝2sin(x＋φ)．又因为函数图象过点(2，2)，

所以2sin(×2＋φ)＝2，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2sin(x)．

因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝2f(1)＋2f(2)＋…＋2f(8)＋f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＝＋2，故选C.

7．(2019·湖南、江西等地十四校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.

解析：由题意可得A＝2，T＝×＝－＝π，所以ω＝2.

当x＝时，f(x)＝2，则ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

据此可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，令k＝0可得φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)．当x∈(，π)时，<2x＋<，所以f(x)在此区间上的对称轴方程为x＝.由x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，可得x1＋x2＝，

则f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2×＝1.

答案：1

8．(2019·无锡模拟)函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．

解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，

与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，

所以－＋φ＝－，则φ＝，

答案：

9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，(ω>0，|φ|<)，若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ＝________.

解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得>.又f()＝2，f()＝0，由题意得＝－＝，所以T＝3π，则＝3π⇒ω＝，

所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin(x＋φ)．

由f()＝2sin(×＋φ)＝2⇒sin(＋φ)＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，取k＝0，得φ＝.

答案：

10．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最小正周期为2；

②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；

③f(x)在(2k－，2k＋)，k∈Z上是减函数；

④f(x)的最大值为A.

则正确的结论为________．(填序号)

解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(－)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点(，0)和(，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(＋)＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．

答案：①③

11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(，5)．　

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)依题意得A＝5，

周期T＝4(－)＝π，

所以ω＝＝2.

故y＝5sin(2x＋φ)，

又图象过点P(，0)，

所以5sin(＋φ)＝0，

由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，

因为|φ|<，所以φ＝－，

所以y＝5sin(2x－)．

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

12．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，

所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，

所以x－∈，

当x－＝－，

即x＝－时，g(x)取得最小值－.

[综合题组练]

1．(2019·开封模拟)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度以后得到的图象与函数y＝ksin x ·cos x(k>0)的图象重合，则k＋m的最小值是(　　)

A．2＋　　B．2＋　　C．2＋　　D．2＋

解析：选A.将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos(2x＋2m)＝sin(m>0)，平移后得到的图象与y＝ksin xcos x＝sin 2x(k>0)的图象重合，

所以，

所以k＝2，m＝nπ＋(n∈Z)，又m>0，所以m的最小值为，故k＋m的最小值为2＋，故选A.

2．(创新型)(2019·华南师范大学附属中学综合测试)如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝(　　)

A．－1 B．1

C．－ D.

解析：选D.由题设并结合图形可知，

AB＝＝

＝＝，得＝4，则ω＝，

所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.

3．(应用型)若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上方，则m－n的最大值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选D.根据题意，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上方可以转化为2cos 2x>－7－4sin x恒成立，即2cos 2x＋7＋4sin x>0.根据二倍角公式化简为4sin2x－4sin x－9<0⇒－<sin x<.

因为sin x∈[－1，1]，所以sin x∈(－，1]．在一个周期[－，]上画出图象可得x∈(－，)，所以(m－n)max＝.

4．(应用型)(2019·济宁模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.

(1)若y＝f(x)在[－，]上单调递增，求ω的取值范围．

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．

①求函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象；

②对任意a∈R，求函数y＝g(x)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．

解：(1)因为在[－，]上，函数f(x)＝2sin ωx单调递增，所以ω·≤，求得ω≤，所以ω的取值范围为(0，]．

(2)①令ω＝2，将函数y＝f(x)＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin 2(x＋)的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)＝2sin(2x＋)＋1的图象．

即函数y＝g(x)的解析式为y＝g(x)＝2sin(2x＋)＋1.列表：

作图：

②对任意a∈R，由于函数y＝g(x)的周期为π，g(x)在区间[a，a＋10π]上，共有10个周期，

故函数g(x)最多有21个零点，最少有20个零点．零点个数的所有可能值为20，21.