(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.5《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.5《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用》(含解析)，共24页。试卷主要包含了y＝Asin的有关概念等内容，欢迎下载使用。
第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
最新考纲
考向预测
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会利用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
命题趋势
y＝Asin(ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.
核心素养
直观想象、数学建模


1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)

常用结论
(1)对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
(2)相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
解析：选D.因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．
3．(易错题)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度　B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选A.因为y＝sin＝sin，
所以要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度．
4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________．
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.
答案：2sin
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．

解析：设f(x)的最小正周期为T，
根据题图可知，＝，
所以T＝π，故ω＝2，
根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，故φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
答案：2sin


　　　　　　五点法作图及图象变换
已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下．

【引申探究】
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
解析：f(x)的图象向左平移个单位长度后得
y＝2sin＝2sin的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得
g(x)＝2sin的图象，
即g(x)＝2sin.
答案：2sin
2．(变问法)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．
解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．
答案：

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变
换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．　

1．函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数是偶函数，则φ的最小正值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.函数y＝sin向左平移φ个单位长度可得y＝sin，
因为y＝sin是偶函数，
所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，
由k＝0可得φ的最小正值是.
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
B.为f(x)图象的一个对称中心
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
解析：选BCD.①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到f(x)＝sin的图象；②将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再将其图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin的图象．故选项A不正确．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝π－(k∈Z)，令k＝1，则可知选项B正确；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝－1，则可知选项C正确．又g(x)＝sin＝sin＝f，所以f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象，故选项D正确，故选BCD.

　　　　　　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)

A．sin B．sin
C．cos D．cos
【解析】　由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，所以2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin[π－(2x＋)]＝sin，故选项B正确；y＝sin(－2x)＝cos ＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin(－2×＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin，但当x＝0时，y＝sin(－2x＋)＝－＜0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
【答案】　BC

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．　

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________．
解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－0，0