高考数学一轮复习考点突破讲与练 第4章 第7节　第1课时　系统知识 正弦定理、余弦定理及应用举例 (含解析)

第1课时　系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例

正、余弦定理的内容及变形

[提醒]　若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理，在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．

[谨记常用结论]

1．在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则

(1)sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．

(2)sin ＝cos ，cos ＝sin .

(3)sin A＝sin B⇔A＝B；

sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝.

(4)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

2．三角形的面积

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

1.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．

答案：2

2.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________.

解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，    ①

由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②

由cos B＝，得sin B＝，故S△ABC＝ac×＝6，     ③

由①②③得，b＝4.

答案：4

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为________．

解析：由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.

答案：

4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是________．

解析：由题可知，△ABC有两解的充要条件是bsin 45°<2<b，解得2<b<2.故b的取值范围是(2,2)．

答案：(2,2)

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________.

解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5，

即sin C＝.

又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.

由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，

解得c＝.

答案：

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝________.

解析：∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝.

答案：

测量中的有关几个术语的意义及图形表示

[提醒]　(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．

(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．

1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

答案：50

2.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．

答案：10

3．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.

答案：5

4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.

解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，

∵x>0，∴x＝－1.

答案：－1

5.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.

解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，

所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．

答案：10(3－)

[课时跟踪检测]                                                             

1．(2019·邵阳联考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝，A＝，则B＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.或  D.

解析：选A　由正弦定理得＝，∴sin B＝，∴B＝或B＝，

又b<a，∴B<A，∴B＝.故选A.

2．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，则此三角形的最大内角为(　　)

A．60°  B．90°

C．120°  D．135°

解析：选C　∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，∴a∶b∶c＝1∶1∶，设a＝m，则b＝m，c＝m.∴cos C＝＝＝－，∴C＝120°.

3．(2019·北京十五中模拟)在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝3，那么AB＝(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：选C　由余弦定理得AB2＝22＋32－2×2×3×cos 60°＝7，∴AB＝，故选C.

4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．有一解  B．有两解

C．无解  D．有解但解的个数不确定

解析：选C　由正弦定理得＝，

∴sin B＝＝＝>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

5．(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积为(　　)

A．3  B.

C．9  D.

解析：选B　由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3，

∵cos B＝，∴sin B＝，∴S△ABC＝casin B＝×4×3×＝.故选B.

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.则c的值为(　　)

A．4  B．2

C．5  D．6

解析：选A　∵c＝2a，b＝4，cos B＝，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

即16＝c2＋c2－c2＝c2，解得c＝4.

7．(2018·兰州一模)△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.

8．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)

A．10 km  B．10 km

C．10 km  D．10 km

解析：选D　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，

∴AC＝10(km)．

9．(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36°＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　不妨设AB＝2，利用黄金分割点的定义得AD＝－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝－1.在△ABD中，cos 36°＝＝，故选B.

10．(2019·莆田联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若             asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin              B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝，故选A.

11．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10 海里  B．10 海里

C．20 海里  D．20 海里

解析：选A　画出示意图如图所示，易知，

在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，

根据正弦定理得＝，

解得BC＝10(海里)．

12．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则＝(　　)

A．2  B．3

C.  D.

解析：选A　由2bsin 2A＝asin B，得4bsin A·cos A＝asin B，

由正弦定理得4sin B· sin A·cos A＝sin A·sin B，

∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A＝，

由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.

13．(2019·凌源模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝＋，A＝75°，cos B＝，则b＝________.

解析：在△ABC中，由cos B＝，可得sin B＝，由A＝75°，可得sin A＝，根据正弦定理＝，得＝，解得b＝2.

答案：2

14．(2018·惠州二调)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝，则＝________.

解析：由正弦定理知＝＝2，所以a＝2sin A，则＝＝＝＝4.

答案：4

15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．

解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，

所以AC＝＝＝

10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．

答案：

16．(2019·河南实验中学模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.

解析：由tan B＝－，得sin B＝，cos B＝－.

由△ABC的面积S＝8，得S＝acsin B＝8，解得c＝4.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋16－2×5×4×＝65，则b＝.

由正弦定理，得＝＝，

则＝＝＝.

答案：