高考数学一轮复习考点突破讲与练 第4章 第6节　三角函数图象与性质的综合问题 (含解析)

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第六节　三角函数图象与性质的综合问题
三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．


三角函数图象与性质中的参数范围问题
　　策略一：针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期等问题．一般来说：
(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；
(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)．
策略二：研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．
[典例]　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11　　　　　　　　 B．9
C．7 D．5
[思路点拨]　本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．
[解题观摩]　法一：排除法
由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω.
当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
综上，ω的最大值为9.故选B.
法二：特殊值法
从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出<<，不合题意；当ω＝9时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出⊆，符合题意，故选B.
法三：综合法
由题意得且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，
f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减．
[答案]　B
[题后悟通]
上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．　　
[针对训练]
1．(2019·丹东教学质量监测)若函数f(x)＝2sin在区间和上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，在原点附近的递增区间为－，，，因此解得≤x0≤，故选B.
2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　 B．[1,2]
C. D.
解析：选B　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－A>0,0<φ<的图象在y轴上的截距为1，∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称， ∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin ＝，∴A＝，∴f(x)＝ sin－.对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，∴m2－3m≤f(x)min.∵x∈，∴2x＋∈，sin∈，sin2x＋∈，f(x)∈，∴m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.

三角函数图象与性质的综合问题
[典例]　已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在－，上的单调递增区间．
[解]　(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin2(x＋m)＋＝sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，
可得sin＝0，即sin＝0，
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
因为m>0，
所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.
此时，g(x)＝sin.
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增，
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．
综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
[方法技巧]
三角函数图象与性质综合问题的解题策略
(1)图象变换问题
先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用公式T＝(ω>0)求周期；
②根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　
[针对训练]
设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，且f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.


[课时跟踪检测]
1．(2018·漯河高级中学二模)已知函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
解析：选B　函数y＝sin的周期T＝6，当x＝0时，y＝，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sinx＋在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.
2．(2019·合肥高三调研)已知函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则ω的最小正值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象，因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以－＋＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝－3k－1.易知当k＝－1时，ω取最小正值2，故选B.
3．(2018·东北五校协作体模考)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B　因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2，故选B.
4．(2019·武昌调研)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A．3 B.

C. D.
解析：选A　将f(x)的图象向右平移个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin－1＝2sin－1，由题意知＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，所以ω的最小值为3，故选A.
5．(2019·衡水中学月考)将函数f(x)＝sin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)＝sin2＝－cos 2x的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤时，g(x)单调递增，故a的最大值为.
6．(2019·郴州一中月考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)的图象经过点和，当x∈时，方程f(x)＝2a－有两个不等的实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[，2] B.
C．[1,2] D.
解析：选D　∵点在函数图象上，∴Asin2×＋φ＝0.
∵0<φ<π，∴φ＝.又点在函数图象上，∴Asin＝，
∴A＝，∴f(x)＝sin.∵x∈，∴2x＋∈，
当方程f(x)＝2a－有两个不等的实根时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－有两个不同的交点，由图象可知≤2a－<，∴≤a<.故选D.
7．(2018·湖北部分重点中学第一次联考)已知函数f(x)＝，若存在φ∈，使f(sin φ)＋f(cos φ)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意，＋＝0有解，∴sin φ＋a＋cos φ＋a＝0，
∴－2a＝sin φ＋cos φ＝sin.
∵φ∈，∴φ＋∈，∴sinφ＋∈，
∴sin∈(1，)，∴－2a∈(1，)，∴a∈.
当－，∴sin φ＋a≠0.又∵(sin φ＋a)＋(cos φ＋a)＝0，
∴cos φ＋a≠0.故当a∈时，方程＋＝0有解．故选B.
8．(2018·广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考)已知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos xcos－θ在上单调递增．若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C．[1，＋∞) D.
解析：选C　∵f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin x·cos xcos＝－cos 2x(－cos θ)－sin 2xsin θ＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，∴由函数递增知解得－≤θ≤.∵f＝cos，0≤＋θ≤，∴f≤1. ∵f≤m恒成立，∴m≥1.故选C.
9．(2018·江西师大附属中学月考)已知函数f(x)＝sin，其中ω>0.若|f(x)|≤f对x∈R恒成立，则ω的最小值为________．
解析：由题意得ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，即ω＝24k＋4(k∈Z)，由ω>0知，当k＝0时，ω取到最小值4.
答案：4

10．(2018·新余一中模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为________．
解析：由0≤x≤1得≤ωx＋≤ω＋，若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，根据正弦函数图象可知，应满足4π＋≤ω＋<6π＋，解得≤ω<.
答案：
11．(2018·山东、湖北部分重点中学联考)已知函数f(x)＝cos2＋sincos－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值．
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．求函数g(x)在[－π，π]上的单调递减区间和零点．
解：(1)f(x)＝cos2＋sincosωx－－＝cos＋ sin2ωx－＝sin，由T＝＝π得ω＝1.
(2)∵f(x)＝sin，∴g(x)＝sin，
g(x)在[－π，π]上的单调递减区间为－π，－，，零点为x0＝kπ－(k∈Z)．
又∵x0∈[－π，π]，∴g(x)在[－π，π]上的零点是－，.
12．(2018·阳江调研)已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)＝－(sin x＋cos x)＋b，g(x)＝ asin xcos x＋＋＋2.
(1)若x∈(0，π)，f(x)＝－＋b，求sin x－cos x的值；
(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，求b的取值范围．
解：(1)依题意得sin x＋cos x＝，∴sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝，即2sin xcos x＝－，∴1－2sin xcos x＝，即sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝(sin x－cos x)2＝，由2sin xcos x＝－<0，x∈(0，π)，得x∈，∴sin x>0，cos x<0，∴sin x－cos x>0，∴sin x－cos x＝.
(2)不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，即不等式b≤asin x·cos x＋(sin x＋cos x)＋＋＋2对任意的x∈R恒成立，
即b≤min.
设y＝asin xcos x＋(sin x＋cos x)＋＋＋2，
令t＝sin x＋cos x，则t＝sin∈[－，]，
且sin xcos x＝.
令m(t)＝＋t＋＋＋2＝t2＋t＋＋2＝＋＋2＝2＋2.
1°当－<－，即0 ∴m(t)min＝m(－)＝a＋.
2°当－≤－<0，即a≥1时，m(t)min＝m＝2.
3°当0<－≤，即a≤－1时，m(t)min＝m＝a＋.
4°当－>，即－1 ∴当a≥1时，b≤2；当a<0或0