高考数学一轮复习考点突破讲与练 第4章 第5节　三角恒等变换 (含解析)

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第五节　三角恒等变换
[考纲要求]
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．　　　
突破点一　三角函数求值


1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2.二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，
sin2α＝
T2α
tan 2α＝

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、填空题
1．已知tan α＝2，则tan＝________.
解析：∵tan α＝2，∴tan＝＝.
答案：
2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．
解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.
法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.
答案：
3.cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
答案：
4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
解析：由题可知，tan α＝＝2，
∴tan 2α＝＝－.
答案：－


考法一　三角函数式的化简求值　
1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[例1]　(1)＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
(2)化简：＝________ .
[解析]　(1)
＝
＝
＝sin 30°＝.
(2)法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝＝＝1.
[答案]　(1)C　(2)1
[方法技巧]　三角函数式的化简要遵循“三看”原则

考法二　三角函数的给值求值(角)　
[例2]　(1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
∴sin＝－cos 2β＝1－2cos2β＝.故选B.
(2)因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因为A为钝角，所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B为钝角，可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×
＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝，故选C.
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]
1．给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
2．给值求角问题的解题策略
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．　　

1.已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.故选A.
2.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)
A. B．1＋
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C　(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋ tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.
3.若cos＝，则cos的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　∵cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，
∴cos＋2α＝cos＝－cos＝.故选A.
4.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.
答案：
突破点二　三角恒等变换的综合问题
利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．
[典例]　(2019·北京朝阳期末)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.
[解]　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x－∈，
sin∈，
sin＋1∈[0，＋1]．
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈时，f(x)≥0.
[方法技巧]
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　
[针对训练]
(2019·襄阳四校期中联考)设函数f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－sin2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－1＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(α)＝sin－1＝－1，
∴sin＝.
由α∈知2α＋∈，
∴cos＝－.
∴f＝sin－1
＝sin－1
＝－1
＝×－1＝－.

[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．(2019·贵阳高三监测考试)sin415°－cos415°＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选D　sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos 30°＝－.故选D.
3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝，tan＝，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
解析：选A　∵tan α＝，∴tan＝＝.∵tan＝，
∴＝.解得m＝－6或m＝1.故选A.
4．若2cosθ－＝3cos θ，则tan θ＝(　　)
A. B.
C．－ D.
解析：选D　由2cos＝3cos θ可得cos θ＋sin θ＝3cos θ，故tan θ＝.故选D.
5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan＝(　　)
A．7 B.
C．－7 D．－
解析：选B　∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，
∴cos α＝－.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan＝＝.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为的是(　　)
A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2
C. D.
解析：选B　A．sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.B.cos2 －sin2＝cos ＝.C.＝tan 60°＝.D. ＝cos 15°＝.故选B.
2．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为(　　)
A．5 B．－1
C．6 D.
解析：选A　由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5，故选A.
3．对于锐角α，若sin＝，则cos＝(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选D　由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，则cos＝cos＝coscos －sinsin ＝×－×＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，故选D.
4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos＝3sin，则tan＝(　　)
A．4－2 B．2－4
C．4－4 D．4－4
解析：选B　由题意可得－sin α＝－3sin，即sin＝3sin，sinα＋·cos －cossin ＝3sincos ＋3cossin ，整理可得tan＝－2tan ＝－2tan＝ －2×＝2－4.故选B.
5．(2018·四川联考)已知角α∈，且cos 2α＋cos2α＝0，则tan＝(　　)
A．－3－2 B．－1
C．3－2 D．3＋2
解析：选A　由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2α＝.
∵α∈，∴cos α＝，∴sin α＝＝，
∴tan α＝＝，tan＝＝＝－3－2，故选A.
6．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝，sin α＝2sin β－，则sin2(α＋β)＝(　　)
A．1 B.
C. D．0
解析：选A　由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos2α＋4cos2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin2α＋4sin2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α
＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.
7．(2018·永州二模)已知tan＝，则cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵tan＝，∴cos2＝sin2＝
＝＝＝.故选B.
8．(2018·河北武邑中学二调)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则 cos θ＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　利用辅助角公式可得f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.当函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，则cos θ＝cos＝－sin φ＝－(k∈Z)，故选C.
9．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝×－×＋×＝，故选B.

10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：－＝________.
解析：－＝＝＝＝4.
答案：4
11．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α的值为________．
解析：∵<α<π，∴π<2α<2π.
∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<.
∵sin(2α－β)＝>0，∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.
∵－<β<0且sin β＝－，∴cos β＝.
∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝×－×＝.
∵cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.
∵α∈，∴sin α＝.
答案：
12．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．
解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
13．(2018·大庆实验中学期中)A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，则cos＝________.
解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，所以 ＋<π，所以sin(A＋B)＝＝，sin＝ ＝.所以cos＝cos＝－×＋×＝.
答案：
14．(2019·六安第一中学月考)已知cos·cos＝－，α∈.
求：(1)sin 2α；
(2)tan α－.
解：(1)由题知cos·cos＝cos＋α·sin＝sin＝－，
∴sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝.
(2)由(1)得cos 2α＝cos＝cos2α＋·cos ＋sinsin ＝－，
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.
15．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝ －，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.