还剩20页未读，
继续阅读
2023-2024学年辽宁省锦州市黑山县八年级（上）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年辽宁省锦州市黑山县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数0.02002000200002，，π，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
4．一个正方形的面积为17，估计它的边长大小在（ ）
A．5和6之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间
5．下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）﹣a2一定有平方根，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列有关叙述，能确定学校具体位置的是（ ）
A．在虹桥镇
B．在光明路
C．在医院的东面
D．在小明家北偏东39°27′，相距1200米处
7．已知A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），下列结论错误的是（ ）
A．点A在第二象限B．点B在第一象限
C．线段AB平行于y轴D．点A、B之间的距离为4
8．小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数关系图．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小明家和学校距离1000米
B．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
C．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
D．小张到达学校时，小明距离学校400米
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上.）
9．比较大小： 1（“＞”“＜”或“＝”）．
10．实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|＝ ．
11．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 ．
12．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为 ．
13．如图将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知AD＝4，AB＝3，则DE＝ ．
14．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解是 ．
15．如图，长方形ABCD的边AB在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，AD＝2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），……，那么点A2023的坐标为 ．
三、解答题（本题共3个题.）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
18．已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
19．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．
（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；
（2）请你参考上述方法，计算；
（3）化简：．（n为正整数）
四、解答题（本题共1个题.）
20．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
五、解答题（本题共2个题）
21．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现AB＝25cm，BC＝18cm，AD＝7cm，CD＝30cm．根据设计要求，还需保证AD∥BC．由于手头工具有限，小彬只能测得BD＝24cm．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
22．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租费的收费方式是 （填①或②），月租费是 ；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）当用户通讯时间是多少时，选择第①种收费方式较经济实惠．
六、解答题（本题共2个题.）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）和点C（m，2），与y轴交于点A，经过点C的另一直线与y轴的正半轴交于点D（0，1），与x轴交于点E．
（1）求点A的坐标及直线CD的表达式；
（2）求△BCE的面积．
24．（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
（2）应用：如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 ．（请直接写出结果）
（3）拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的距离相等．
参考答案
一、选择题（本大题共8个题.每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内.）
1．数0.02002000200002，，π，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：0.02002000200002是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有，π，，共3个．
故选：C．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A和选项D，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B，根据二次根式的除法法则即可判断选项C．
解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．2＝2，故本选项不符合题意；
C．÷
＝
＝
＝2，故本选项符合题意；
D．3﹣＝2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4．一个正方形的面积为17，估计它的边长大小在（ ）
A．5和6之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间
【分析】首先利用正方形面积求法得出正方形边长，进而估算它的取值范围．
解：∵一个正方形的面积为17，
∴这个正方形的边长为：，
∵4＜＜5，
∴它的边长大小在4和5之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
5．下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）﹣a2一定有平方根，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的分类即可判断（1）；求出＝4，再根据算术平方根的定义即可判断（2）；根据最简二次根式的定义即可判断（3）；根据实数与数轴上点的关系即可判断（4）；根据平方根的定义即可判断（5）．
解：无理数包含正无理数和负无理数，不包括0，故（1）错误；
∵＝4，
所以的算术平方根为＝2，故（2）正确；
＝＝，不是最简二次根式，故（3）错误；
实数和数轴上的点是一一对应的，故（4）正确；
当a≠0时，﹣a2＜0，没有平方根，故（5）错误；
所以正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，平方根和算术平方根的定义，无理数的定义和实数与数轴等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
6．下列有关叙述，能确定学校具体位置的是（ ）
A．在虹桥镇
B．在光明路
C．在医院的东面
D．在小明家北偏东39°27′，相距1200米处
【分析】确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据．找到一个数据的选项即为所求．
解：显然A、B、C都告诉了一个条件，不能确定点的位置．
而D告诉了两个条件，能确定学校具体位置；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定点的位置，要明确，一个有序数对才能确定一个点的位置．
7．已知A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），下列结论错误的是（ ）
A．点A在第二象限B．点B在第一象限
C．线段AB平行于y轴D．点A、B之间的距离为4
【分析】由横、纵坐标正负即可判定点A，点B的象限，由于点A，B两点的纵坐标均为3，故AB∥x轴，且AB＝2﹣（﹣2）＝4．
解：A．因为﹣2＜0，3＞0，所以点A在第二象限，故A选项不合题意；
B．因为2＞0，3＞0，所以点B在第一象限，故B选项不合题意；
C．因为点A，点B的纵坐标均为3，所以AB∥x轴，故C选项符合题意；
D．由C可得，AB∥x轴，所以点A，B之间的距离为4，故D选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图象性质，由横坐标和纵坐标特征，判定所在象限，判定与坐标轴平行的结论，是解决此题的关键．
8．小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数关系图．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小明家和学校距离1000米
B．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
C．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
D．小张到达学校时，小明距离学校400米
【分析】根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得．
解：A．由图象可知，小明家和学校距离1000米，此选项不合题意；
B．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为：（1000﹣360）÷（20﹣12）＝80（米/分），此选项不合题意；
C．小张乘公共汽车的速度为：1000÷（15﹣5）＝100（米/分）；
360÷100＝3.6（分），
故小张乘坐公共汽车后7点48分36秒与小明相遇，故选项C符合题意；
D．小张到达学校时，小明距离学校1000﹣360﹣80×（15﹣12）＝400（米），此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上.）
9．比较大小： ＜ 1（“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】先根据两个正数比较大小，平方大的数就大得出＜3，再利用不等式的性质即可求解．
解：∵7＜9，
∴＜3，
∴﹣1＜2，
∴＜1．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较的法则，不等式的性质，得出＜3是解题的关键．
10．实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|＝ ﹣a ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
解：∵a＜0，
∴a﹣＜0，
则原式＝﹣a，
故答案为：﹣a
【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
11．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 4 ．
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，
解得：m＝1，
∴2m﹣4＝﹣2
所以这个数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
12．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为 （1，3） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13．如图将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知AD＝4，AB＝3，则DE＝ ．
【分析】利用翻折变换的性质得到AD＝AF＝4，在Rt△ABF中利用勾股定理求BF，然后再利用勾股定理即可求出DE．
解：∵将矩形ABCD沿AE折叠，
∴AD＝AF＝4，DE＝EF，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴DE2＝（3﹣DE）2+（4﹣），
∴DE＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题关键是在Rt△ABF中利用勾股定理求解．
14．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解是 x＝3 ．
【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为（3，0），
∴当kx+b＝0时，x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的值是解答此题的关键．
15．如图，长方形ABCD的边AB在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，AD＝2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为 2 ．
【分析】根据勾股定理求出AC即可解答．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AD＝2，AB＝4，
∴在Rt△ABC中，
∴AC＝＝2，
∴AE＝2，
∴点E表示的数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了数轴，勾股定理的应用是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），……，那么点A2023的坐标为 （1011，0） ．
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……，
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
∴2023÷4＝505⋯⋯3，
∴点A2023的纵坐标为0，横坐标为0+2×505+1＝1011，
∴点A2023的坐标（1011，0），
故答案为：（1011，0）．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
三、解答题（本题共3个题.）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式即可；
（3）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后进行有理数的减法运算；
（4）先根据二次根式的性质和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（5）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后化简二次根式后合并即可．
解：（1）原式＝+﹣2
＝；
（2）原式＝﹣
＝2﹣；
（3）原式＝﹣
＝﹣
＝4﹣6
＝﹣2；
（4）原式＝+12﹣4+
＝+12﹣4+
＝12﹣2；
（5）原式＝3﹣2+2﹣（3﹣2+2）
＝3﹣2+2﹣5+2
＝2+2﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
【分析】先化简求值的代数式x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy，然后代入已知求值即可．
解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝（）2+（）（）
＝4+（2﹣1）
＝4+2﹣1
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式变形求值的代数式使得运算简便是解题的关键．
19．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．
（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；
（2）请你参考上述方法，计算；
（3）化简：．（n为正整数）
【分析】（1）利用题中的方法，把成7与3的和，把2（1分）成7与3的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可；
（2）先提取公因数4，再开方，再利用题中的方法，把成3与5的和，把成3与5的积，然后利用完全平方公式写成平方式，即可化简；
（3）先化简每个根式，再合并即可．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
（3）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则．
四、解答题（本题共1个题.）
20．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的定义作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得；
（3）利用割补法求解可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图象知A1的坐标为（﹣3，﹣5）、B1的坐标为（﹣6，﹣1）、C1的坐标为（﹣1，﹣3）；
（3）△ABC的面积4×5﹣×3×4﹣×2×2﹣×2×5＝7．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
五、解答题（本题共2个题）
21．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现AB＝25cm，BC＝18cm，AD＝7cm，CD＝30cm．根据设计要求，还需保证AD∥BC．由于手头工具有限，小彬只能测得BD＝24cm．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
【分析】在△ABD和在△BCD中，根据勾股定理逆定理证得∠ADB＝∠CBD＝90°，根据平行线的判定即可证得AD∥BC，
解：该材料符合设计要求，
理由如下：
在△ABD中，AD2+BD2＝72+242＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
在△BCD中，BC2+BD2＝182+242＝900，CD2＝302＝900，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴该材料符合设计要求．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和平行线的判定，根据勾股定理的逆定理证得∠ADB＝∠CBD是解决问题的关键．
22．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租费的收费方式是 ① （填①或②），月租费是 30元 ；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）当用户通讯时间是多少时，选择第①种收费方式较经济实惠．
【分析】（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；
（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）列出不等式，即可解得答案．
解：（1）由图象可得：有月租费的收费方式是①；月租费是30元；
故答案为：①；30元；
（2）设y1＝k1x+30，将（500，80）代入得：
500k1+30＝80，
解得k1＝0.1，
设y2＝k2x，将（500，100）代入得：
500k2＝100，
解得k2＝0.2，
∴①收费方式的解析式为y1＝0.1x+30；②收费方式解析式为y2＝0.2x；
（3）当第①种收费方式较经济实惠时，y1＜y2，
即0.1x+30＜0.2x，
解得x＞300；
∴当用户通讯时间大于300分钟时，第①种收费方式较经济实惠．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式和不等式．
六、解答题（本题共2个题.）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）和点C（m，2），与y轴交于点A，经过点C的另一直线与y轴的正半轴交于点D（0，1），与x轴交于点E．
（1）求点A的坐标及直线CD的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【分析】（1）先把B（﹣6，0）代入y＝kx+4中，求出直线AB的解析式，再求出A点坐标，从而可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD的解析式，即可解答；
（2）首先求得B（﹣6，0），OB＝6，进而得到BE＝BO+OE＝6+3＝9，然后利用S△BCE＝BE•∁y解答即可．
解：（1）把B（﹣6，0）代入y＝kx+4得，
0＝﹣6k+4，
解得：k＝，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（0，4），
把点C（m，2）代入y＝x+4得，
2＝m+4，
解得：m＝﹣3，
∴点C的坐标为（﹣3，2），
设直线CD的解析式为：y＝ax+b，
把C（﹣3，2），D（0，1）代入y＝ax+b得：
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+1；
令y＝0，得：0＝﹣x+1；
解得：x＝3，
∴OE＝3，
∵B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∴BE＝BO+OE＝6+3＝9，
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴S△BCE＝BE•∁y
＝×9×2
＝9，
∴△BCE的面积为9．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
24．（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
（2）应用：如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 π ．（请直接写出结果）
（3）拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的距离相等．
【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；
（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；
（3）设CO＝xkm，则OD＝（80﹣x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO＝BO列出方程，求解即可．
解：（1）∵（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，
∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）∵S1＝πAC2，S2＝πBC2，
∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝π；
（3）设CO＝xkm，则OD＝（80﹣x）km．
∵O到A、B两个城市的距离相等，
∴AO＝BO，即AO2＝BO2，
由勾股定理，得402+x2＝602+（80﹣x）2，
解得：x＝52.5．
即O应建在离C点52.5千米处．
故答案为π．
【点评】本题考查了（1）勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
（2）根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
（3）勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
1．数0.02002000200002，，π，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
4．一个正方形的面积为17，估计它的边长大小在（ ）
A．5和6之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间
5．下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）﹣a2一定有平方根，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列有关叙述，能确定学校具体位置的是（ ）
A．在虹桥镇
B．在光明路
C．在医院的东面
D．在小明家北偏东39°27′，相距1200米处
7．已知A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），下列结论错误的是（ ）
A．点A在第二象限B．点B在第一象限
C．线段AB平行于y轴D．点A、B之间的距离为4
8．小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数关系图．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小明家和学校距离1000米
B．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
C．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
D．小张到达学校时，小明距离学校400米
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上.）
9．比较大小： 1（“＞”“＜”或“＝”）．
10．实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|＝ ．
11．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 ．
12．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为 ．
13．如图将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知AD＝4，AB＝3，则DE＝ ．
14．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解是 ．
15．如图，长方形ABCD的边AB在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，AD＝2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），……，那么点A2023的坐标为 ．
三、解答题（本题共3个题.）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
18．已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
19．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．
（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；
（2）请你参考上述方法，计算；
（3）化简：．（n为正整数）
四、解答题（本题共1个题.）
20．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
五、解答题（本题共2个题）
21．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现AB＝25cm，BC＝18cm，AD＝7cm，CD＝30cm．根据设计要求，还需保证AD∥BC．由于手头工具有限，小彬只能测得BD＝24cm．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
22．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租费的收费方式是 （填①或②），月租费是 ；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）当用户通讯时间是多少时，选择第①种收费方式较经济实惠．
六、解答题（本题共2个题.）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）和点C（m，2），与y轴交于点A，经过点C的另一直线与y轴的正半轴交于点D（0，1），与x轴交于点E．
（1）求点A的坐标及直线CD的表达式；
（2）求△BCE的面积．
24．（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
（2）应用：如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 ．（请直接写出结果）
（3）拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的距离相等．
参考答案
一、选择题（本大题共8个题.每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内.）
1．数0.02002000200002，，π，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：0.02002000200002是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有，π，，共3个．
故选：C．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A和选项D，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B，根据二次根式的除法法则即可判断选项C．
解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．2＝2，故本选项不符合题意；
C．÷
＝
＝
＝2，故本选项符合题意；
D．3﹣＝2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4．一个正方形的面积为17，估计它的边长大小在（ ）
A．5和6之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间
【分析】首先利用正方形面积求法得出正方形边长，进而估算它的取值范围．
解：∵一个正方形的面积为17，
∴这个正方形的边长为：，
∵4＜＜5，
∴它的边长大小在4和5之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
5．下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）﹣a2一定有平方根，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的分类即可判断（1）；求出＝4，再根据算术平方根的定义即可判断（2）；根据最简二次根式的定义即可判断（3）；根据实数与数轴上点的关系即可判断（4）；根据平方根的定义即可判断（5）．
解：无理数包含正无理数和负无理数，不包括0，故（1）错误；
∵＝4，
所以的算术平方根为＝2，故（2）正确；
＝＝，不是最简二次根式，故（3）错误；
实数和数轴上的点是一一对应的，故（4）正确；
当a≠0时，﹣a2＜0，没有平方根，故（5）错误；
所以正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，平方根和算术平方根的定义，无理数的定义和实数与数轴等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
6．下列有关叙述，能确定学校具体位置的是（ ）
A．在虹桥镇
B．在光明路
C．在医院的东面
D．在小明家北偏东39°27′，相距1200米处
【分析】确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据．找到一个数据的选项即为所求．
解：显然A、B、C都告诉了一个条件，不能确定点的位置．
而D告诉了两个条件，能确定学校具体位置；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定点的位置，要明确，一个有序数对才能确定一个点的位置．
7．已知A、B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），下列结论错误的是（ ）
A．点A在第二象限B．点B在第一象限
C．线段AB平行于y轴D．点A、B之间的距离为4
【分析】由横、纵坐标正负即可判定点A，点B的象限，由于点A，B两点的纵坐标均为3，故AB∥x轴，且AB＝2﹣（﹣2）＝4．
解：A．因为﹣2＜0，3＞0，所以点A在第二象限，故A选项不合题意；
B．因为2＞0，3＞0，所以点B在第一象限，故B选项不合题意；
C．因为点A，点B的纵坐标均为3，所以AB∥x轴，故C选项符合题意；
D．由C可得，AB∥x轴，所以点A，B之间的距离为4，故D选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图象性质，由横坐标和纵坐标特征，判定所在象限，判定与坐标轴平行的结论，是解决此题的关键．
8．小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数关系图．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小明家和学校距离1000米
B．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
C．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
D．小张到达学校时，小明距离学校400米
【分析】根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得．
解：A．由图象可知，小明家和学校距离1000米，此选项不合题意；
B．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为：（1000﹣360）÷（20﹣12）＝80（米/分），此选项不合题意；
C．小张乘公共汽车的速度为：1000÷（15﹣5）＝100（米/分）；
360÷100＝3.6（分），
故小张乘坐公共汽车后7点48分36秒与小明相遇，故选项C符合题意；
D．小张到达学校时，小明距离学校1000﹣360﹣80×（15﹣12）＝400（米），此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上.）
9．比较大小： ＜ 1（“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】先根据两个正数比较大小，平方大的数就大得出＜3，再利用不等式的性质即可求解．
解：∵7＜9，
∴＜3，
∴﹣1＜2，
∴＜1．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较的法则，不等式的性质，得出＜3是解题的关键．
10．实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|＝ ﹣a ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
解：∵a＜0，
∴a﹣＜0，
则原式＝﹣a，
故答案为：﹣a
【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
11．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 4 ．
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，
解得：m＝1，
∴2m﹣4＝﹣2
所以这个数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
12．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为 （1，3） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13．如图将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知AD＝4，AB＝3，则DE＝ ．
【分析】利用翻折变换的性质得到AD＝AF＝4，在Rt△ABF中利用勾股定理求BF，然后再利用勾股定理即可求出DE．
解：∵将矩形ABCD沿AE折叠，
∴AD＝AF＝4，DE＝EF，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴DE2＝（3﹣DE）2+（4﹣），
∴DE＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题关键是在Rt△ABF中利用勾股定理求解．
14．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解是 x＝3 ．
【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为（3，0），
∴当kx+b＝0时，x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的值是解答此题的关键．
15．如图，长方形ABCD的边AB在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，AD＝2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为 2 ．
【分析】根据勾股定理求出AC即可解答．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AD＝2，AB＝4，
∴在Rt△ABC中，
∴AC＝＝2，
∴AE＝2，
∴点E表示的数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了数轴，勾股定理的应用是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），……，那么点A2023的坐标为 （1011，0） ．
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……，
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
∴2023÷4＝505⋯⋯3，
∴点A2023的纵坐标为0，横坐标为0+2×505+1＝1011，
∴点A2023的坐标（1011，0），
故答案为：（1011，0）．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
三、解答题（本题共3个题.）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式即可；
（3）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后进行有理数的减法运算；
（4）先根据二次根式的性质和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（5）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后化简二次根式后合并即可．
解：（1）原式＝+﹣2
＝；
（2）原式＝﹣
＝2﹣；
（3）原式＝﹣
＝﹣
＝4﹣6
＝﹣2；
（4）原式＝+12﹣4+
＝+12﹣4+
＝12﹣2；
（5）原式＝3﹣2+2﹣（3﹣2+2）
＝3﹣2+2﹣5+2
＝2+2﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
【分析】先化简求值的代数式x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy，然后代入已知求值即可．
解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝（）2+（）（）
＝4+（2﹣1）
＝4+2﹣1
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式变形求值的代数式使得运算简便是解题的关键．
19．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．
（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；
（2）请你参考上述方法，计算；
（3）化简：．（n为正整数）
【分析】（1）利用题中的方法，把成7与3的和，把2（1分）成7与3的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可；
（2）先提取公因数4，再开方，再利用题中的方法，把成3与5的和，把成3与5的积，然后利用完全平方公式写成平方式，即可化简；
（3）先化简每个根式，再合并即可．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
（3）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则．
四、解答题（本题共1个题.）
20．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的定义作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得；
（3）利用割补法求解可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图象知A1的坐标为（﹣3，﹣5）、B1的坐标为（﹣6，﹣1）、C1的坐标为（﹣1，﹣3）；
（3）△ABC的面积4×5﹣×3×4﹣×2×2﹣×2×5＝7．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
五、解答题（本题共2个题）
21．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现AB＝25cm，BC＝18cm，AD＝7cm，CD＝30cm．根据设计要求，还需保证AD∥BC．由于手头工具有限，小彬只能测得BD＝24cm．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
【分析】在△ABD和在△BCD中，根据勾股定理逆定理证得∠ADB＝∠CBD＝90°，根据平行线的判定即可证得AD∥BC，
解：该材料符合设计要求，
理由如下：
在△ABD中，AD2+BD2＝72+242＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
在△BCD中，BC2+BD2＝182+242＝900，CD2＝302＝900，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴该材料符合设计要求．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和平行线的判定，根据勾股定理的逆定理证得∠ADB＝∠CBD是解决问题的关键．
22．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租费的收费方式是 ① （填①或②），月租费是 30元 ；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）当用户通讯时间是多少时，选择第①种收费方式较经济实惠．
【分析】（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；
（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）列出不等式，即可解得答案．
解：（1）由图象可得：有月租费的收费方式是①；月租费是30元；
故答案为：①；30元；
（2）设y1＝k1x+30，将（500，80）代入得：
500k1+30＝80，
解得k1＝0.1，
设y2＝k2x，将（500，100）代入得：
500k2＝100，
解得k2＝0.2，
∴①收费方式的解析式为y1＝0.1x+30；②收费方式解析式为y2＝0.2x；
（3）当第①种收费方式较经济实惠时，y1＜y2，
即0.1x+30＜0.2x，
解得x＞300；
∴当用户通讯时间大于300分钟时，第①种收费方式较经济实惠．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式和不等式．
六、解答题（本题共2个题.）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）和点C（m，2），与y轴交于点A，经过点C的另一直线与y轴的正半轴交于点D（0，1），与x轴交于点E．
（1）求点A的坐标及直线CD的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【分析】（1）先把B（﹣6，0）代入y＝kx+4中，求出直线AB的解析式，再求出A点坐标，从而可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD的解析式，即可解答；
（2）首先求得B（﹣6，0），OB＝6，进而得到BE＝BO+OE＝6+3＝9，然后利用S△BCE＝BE•∁y解答即可．
解：（1）把B（﹣6，0）代入y＝kx+4得，
0＝﹣6k+4，
解得：k＝，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（0，4），
把点C（m，2）代入y＝x+4得，
2＝m+4，
解得：m＝﹣3，
∴点C的坐标为（﹣3，2），
设直线CD的解析式为：y＝ax+b，
把C（﹣3，2），D（0，1）代入y＝ax+b得：
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+1；
令y＝0，得：0＝﹣x+1；
解得：x＝3，
∴OE＝3，
∵B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∴BE＝BO+OE＝6+3＝9，
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴S△BCE＝BE•∁y
＝×9×2
＝9，
∴△BCE的面积为9．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
24．（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
（2）应用：如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 π ．（请直接写出结果）
（3）拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的距离相等．
【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；
（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；
（3）设CO＝xkm，则OD＝（80﹣x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO＝BO列出方程，求解即可．
解：（1）∵（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，
∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）∵S1＝πAC2，S2＝πBC2，
∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝π；
（3）设CO＝xkm，则OD＝（80﹣x）km．
∵O到A、B两个城市的距离相等，
∴AO＝BO，即AO2＝BO2，
由勾股定理，得402+x2＝602+（80﹣x）2，
解得：x＝52.5．
即O应建在离C点52.5千米处．
故答案为π．
【点评】本题考查了（1）勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
（2）根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
（3）勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
相关试卷
辽宁省锦州市黑山县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（含解析）： 这是一份辽宁省锦州市黑山县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，画图题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省锦州市黑山县2023届九年级下学期中考一模数学试卷（含解析）： 这是一份辽宁省锦州市黑山县2023届九年级下学期中考一模数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省锦州市黑山县2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)： 这是一份辽宁省锦州市黑山县2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
