2021-2022学年辽宁省锦州市黑山县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年辽宁省锦州市黑山县九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，探究题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省锦州市黑山县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题.每小题的4个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内）
1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3（x+1）2＝﹣2（x+1） B．2x2﹣3x＝2（x﹣1）2
C．ax2+bx+c＝0 D．+x﹣2＝0
2．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（2分）用配方法解方程y2﹣y﹣1＝0，正确的是（　　）
A．（y﹣）2＝，y＝±
B．（y﹣）2＝，y＝±
C．（y﹣）2＝，y＝±
D．（y﹣）2＝，y＝±
4．（2分）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．

A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5．（2分）下列命题中错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6．（2分）根据下列表格的对应值：
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
ax2+bx+c
…
﹣0.02
﹣0.01
0.01
0.03
…
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解x的取值范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
7．（2分）若关于x的方程式x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．25 B．20 C．15 D．10
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上。）
9．（2分）一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是　 　 　．
10．（2分）某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x，根据题意列方程是 　 　．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0有一个根是2，则2m+n＝　 　．
12．（2分）已知方程（x﹣3）（x+m）＝0与方程x2﹣2x﹣3＝0的解完全相同，则m＝　 　．
13．（2分）一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形的周长是　 　．
14．（2分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程　 　．

15．（2分）如图，正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长等于　 　．

16．（2分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件　 　时，四边形PEMF为矩形．

三、解答题（本题共3个题.解答题应写出必要的文字说明、演算步骤．）
17．（10分）解方程：（用适当的方法解方程）
（1）解方程：x2﹣6x+2＝0．
（2）（2x+5）﹣3x（2x+5）＝0．
18．（8分）列方程解应用题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．
（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
19．（10分）已知关于x的一元二次方程3x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
四、解答题（解答题应写出必要的文字说明、演算步骤．）
20．（8分）杨华和季红用5张同样规格的硬纸片做正面如图20﹣1图所示，背面完全一样，将它背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2图所示）．

问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
五、解答题（本题共2个题.）
21．（10分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．
（1）若∠EFC＝60°，CF＝8，求CE的长；
（2）求证：四边形BCEF是矩形．

22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE＝CF．
（1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．
（2）连接EF，若∠BED＝120°，求∠EFD的度数．

六、探究题（本题14分.）
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．


2021-2022学年辽宁省锦州市黑山县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题.每小题的4个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内）
1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3（x+1）2＝﹣2（x+1） B．2x2﹣3x＝2（x﹣1）2
C．ax2+bx+c＝0 D．+x﹣2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【解答】解：A．是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．整理后是一元一次方程，故本选项不合题意；
C．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．是分式方程，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
3．（2分）用配方法解方程y2﹣y﹣1＝0，正确的是（　　）
A．（y﹣）2＝，y＝±
B．（y﹣）2＝，y＝±
C．（y﹣）2＝，y＝±
D．（y﹣）2＝，y＝±
【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，然后开平方即可得出选项．
【解答】解：y2﹣y﹣1＝0，
y2﹣y＝1，
y2﹣y+＝1+，
（y﹣）2＝，
∴y﹣＝±，
∴y＝±，
故选：D．
4．（2分）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．

A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【解答】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
5．（2分）下列命题中错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】利用平行四边形的性质、矩形的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，符合题意；
C、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
故选：B．
6．（2分）根据下列表格的对应值：
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
ax2+bx+c
…
﹣0.02
﹣0.01
0.01
0.03
…
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解x的取值范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】从表格中的数据可以看出，当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.01，函数值由负数变为正数，此过程中存在方程ax2+bx+c＝0的一个根．
【解答】解：∵当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.01，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根应在6.18﹣6.19之间，
故选：C．
7．（2分）若关于x的方程式x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，然后解不等式，最后根据不等式的解集进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，
解得a≤．
故选：D．
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．25 B．20 C．15 D．10
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC＝60°，而AB＝BC＝AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB＝BC＝5，那么就可求菱形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，
∴AB＝BC＝5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上。）
9．（2分）一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是　 　　．
【分析】用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵口袋中有3个红球，7个白球，共有10个球，
∴P（白球）＝．
故答案为：．
10．（2分）某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x，根据题意列方程是 　15（1+x）2＝30　．
【分析】利用经过连续两次涨价后的价格＝原价×（1+平均每次增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：15（1+x）2＝30．
故答案为：15（1+x）2＝30．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0有一个根是2，则2m+n＝　4　．
【分析】把x＝2代入x2﹣mx﹣n＝0得4﹣2m﹣n＝0，然后变形即可得到2m+n的值．
【解答】解：把x＝2代入x2﹣mx﹣n＝0得4﹣2m﹣n＝0，
所以2m+n＝4．
故答案为4．
12．（2分）已知方程（x﹣3）（x+m）＝0与方程x2﹣2x﹣3＝0的解完全相同，则m＝　1　．
【分析】利用十字相乘法将左边因式分解即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∵方程（x﹣3）（x+m）＝0与方程x2﹣2x﹣3＝0的解完全相同，
∴m＝1，
故答案为：1．
13．（2分）一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形的周长是　13　．
【分析】先解方程，求出x的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解，再根据周长公式求解即可．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，3+2＜6（不合题意，舍去），
∴x＝4，
∴这个三角形的周长＝3+4+6＝13．
故答案为13．
14．（2分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程　（80+2x）（50+2x）＝5400　．

【分析】整个挂图的面积＝挂图的长×挂图的宽＝（原矩形风景画的长+2x）×（原库存风景画的宽+2x），把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，
∴可列方程为（80+2x）（50+2x）＝5400．
故答案为（80+2x）（50+2x）＝5400．
15．（2分）如图，正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长等于　2　．

【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，连接AE，

∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，

∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x．
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
则DE＝2．
故答案为2．
16．（2分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件　AB＝BC　时，四边形PEMF为矩形．

【分析】根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时能满足∠BMC＝90°的条件．
【解答】解：AB＝BC时，四边形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB＝BC，
∴AB＝DC＝AM＝MD，∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠MCD＝45°，
∴∠BMC＝90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM＝∠PEM＝90°，
∴四边形PEMF是矩形．
三、解答题（本题共3个题.解答题应写出必要的文字说明、演算步骤．）
17．（10分）解方程：（用适当的方法解方程）
（1）解方程：x2﹣6x+2＝0．
（2）（2x+5）﹣3x（2x+5）＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+2＝0，
∴x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
∴x﹣3＝，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）∵（2x+5）﹣3x（2x+5）＝0，
∴（2x+5）（1﹣3x）＝0，
∴2x+5＝0或1﹣3x＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
18．（8分）列方程解应用题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．
（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）根据降价4元求出每天盈利的钱即可；
（2）设每件衬衫降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）×10＝8（元），
（40﹣4）×（20+8）＝1008（元）．
答：商场平均每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元．
依题意得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x1＝20，x2＝10．
因为尽快减少库存，所以x1＝20．
答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程3x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到﹣2t＝﹣，﹣2+t＝﹣a，然后通过解方程组可得到a和t的值；
（2）先计算判别式的值得到Δ＝a2﹣4×3×（﹣2）＝a2+24，然后利用非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义可判断不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）设方程的另一根为t，
根据题意得﹣2t＝﹣，﹣2+t＝﹣a，
解得t＝，a＝5．
故a的值为5，该方程的另一根为；
（2）证明：Δ＝a2﹣4×3×（﹣2）＝a2+24，
∴Δ＞0，
∴不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
四、解答题（解答题应写出必要的文字说明、演算步骤．）
20．（8分）杨华和季红用5张同样规格的硬纸片做正面如图20﹣1图所示，背面完全一样，将它背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2图所示）．

问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．
∵P（拼成电灯）＝；P（拼成小人）＝；P（拼成房子）＝；P（拼成小山）＝；
∴杨华平均每次得分为：×1+×1＝（分），
季红平均每次得分为：×1+×1＝（分）．
∵＜，
∴游戏对双方不公平．
改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，拼成电灯得1分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不唯一，其他规则可参照给分）．
五、解答题（本题共2个题.）
21．（10分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．
（1）若∠EFC＝60°，CF＝8，求CE的长；
（2）求证：四边形BCEF是矩形．

【分析】（1）由直角三角形的性质得∠ECF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得EF＝CF＝4，然后由勾股定理即可求解；
（2）证△ABF≌△DEC （SAS），得BF＝CE，∠AFB＝∠DCE，则∠BFC＝∠ECF，得BF∥EC，再证四边形BCEF是平行四边形，然后由∠CEF＝90°即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠CEF＝90°，∠EFC＝60°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝CF＝4，
∴CE＝＝＝；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC （SAS），
∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC＝180°，∠DCE+∠ECF＝180°，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE＝CF．
（1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．
（2）连接EF，若∠BED＝120°，求∠EFD的度数．

【分析】（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等；
（2）由（1）中的全等可得∠DFC＝∠BEC＝60°，易得∠CFE＝45°，相减即可得到所求角的度数．
【解答】解：（1）BE＝DF，BE⊥DF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF，∠EBC＝∠CDF，
延长BE与DF交于点H，

∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠EBC+∠CFD＝90°，
∴BE⊥DF．
（2）∵△BCE≌△DCF，∠BEC＝60°，
∴∠DFC＝∠BEC＝60°，
∵∠DCF＝90°，CE＝CF，
∴∠CFE＝45°，
∴∠EFD＝∠DFC﹣∠CFE＝15°．
六、探究题（本题14分.）
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；

（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．