1.6 有理数的乘方（含pdf版）-2023-2024学年小升初（新七年级）数学暑假衔接教材（人教版）

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❊1.6 有理数的乘方
课前导入

老猪，俺每天给你100W，第一天
你返还俺1块钱，第二天你返还俺
2块钱，第三天你返还俺4块钱，
后一天为前一天的2倍.
嘿嘿，猴哥你老是坑
俺，让俺老猪想一想.

唐僧师徒在取得真经之后，猪八戒回到高老庄开了个养猪场。但是最近资金周转不开，于是老猪找到了猴哥，让猴哥帮忙出出主意。猴哥很耿直，“没问题，我每天给你投资100万，连续30天，但是我有个条件，第一天你返还我1块钱，第二天你返还我2块钱，第三天你返还我4块钱，后一天为前一天的2倍。”
老猪心想，“第一天出1块钱换100万，第二天出2块钱换100万，第三天出4块钱换100万，哇，发财了。”但是，老猪非常了解猴哥的为人，怕猴子又在耍他。
【思考】同学们，如果你是“猪八戒”，你会同意“猴哥”的提议吗？为什么？（提示：请计算第30天老猪给猴哥的钱就行了.）
题型精析

知识点一 有理数的乘方


内容
乘方的定义
1.一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；
2.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.
乘方运算
1.正数的任何次幂都是正数；
2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
3.0的任何正整数次幂都是0；
4.有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.
题型一 有理数乘方的定义

例1
对于叙述正确的是（ ）
A．n个n3相加
B．4个n相加
C．n个4相乘
D．n个4相加
【分析】根据有理数的乘方的意义去判断每个选项即可．
【解答】解：选项，个相加得，故该选项符合题意；
选项，4个相加得，故该选项不符合题意；
选项，个4相乘得，故该选项不符合题意；
选项，个4相加得，故该选项不符合题意；
故选：．
例2
计算=（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据乘法的含义，可得：，根据乘方的含义，可得：，据此求解即可．
【解答】解：原式．
故选：．
变1
表示（ ）
A．3个相乘
B．3个4相乘的相反数
C．4个相乘
D．4个3相乘的相反数
【分析】根据有理数的乘方的意义（求几个相同因数的积的一种运算）解决此题．
【解答】解：根据有理数的乘方的意义，，那么表示3个4相乘的相反数．
故选：．
变2
计算=（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据有理数乘法和乘方的意义解答即可．
【解答】解：个2相乘得，个3相加得，
原式．
故选：．
题型二 有理数的乘方运算

类型一 有理数的乘方运算（1）

例1
计算：______，______，______．
【答案】     4     4    
【分析】根据有理数的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：；
；
．
故答案为：4；4；．
例2
计算：=______；=______；=______；=______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
变1
计算：______；______；______；______.
【答案】-1；1；-1；-1
变2
计算：=______；=______；=______.
【答案】(1)8
(2)
(3)

【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可；
（2）根据乘方法则计算；
（3）根据乘方法则计算．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）．
例3
下列各对数中，相等的一对是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算，以及化简多重符号，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：A． ，，故该选项不符合题意；    
B． ，，故该选项符合题意；
C．，，故该选项不符合题意；        
D．，，故该选项不符合题意．
故选：B．
例4
下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．
【解答】解：选项，，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
选项，，，故该选项不符合题意；
选项，，，故该选项不符合题意；
故选：．
变3
下列各组数中，相等的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的运算法则，绝对值的意义，相反数的定义，逐一计算并判断即可．
【详解】解：A． ∵，，
∴，故本选项不符合题意；
B．，，
∴，故本选项不符合题意；    
C．∵ ，，
∴，故本选项符合题意；    
D．∵，，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
变4
下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．和
B． 和
C．和
D．和
【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可．
【解答】解：．，，故选项不符合题意；
．，，故选项符合题意；
．，，故选项不符合题意；
．，，故选项不符合题意．
故选：．
类型二 有理数的乘方运算（2）

例1
计算：　 　．
【分析】根据幂的意义计算即可．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
例2
计算：_______．
【答案】##
【分析】逆用积的乘方法则（n为正整数）进行运算即可．
【详解】解：




．
故答案为：．
变1
计算_______．
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆用，求解即可．
【详解】解：，
故答案为：
变2
计算的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先将改写成，再根据有理数乘方与乘法的运算法则进行计算即可得．
【详解】
解：原式



．
故选：B．
变3
计算：_______.
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】解：


，
故答案为：．
例3
阅读下列各式：，，．
回答下列三个问题：①验证：　 　，　 　；
②通过上述验证，归纳得出：　 　；　　 ；
③请应用上述性质计算：．
【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．
②通过猜想归纳解决此题．
③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：①，．
故答案为：1，1．
②，．
故答案为：，．
③




．
变4
（1）计算下面两组算式：
①与；②与；
（2）根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【分析】（1）根据题意计算出结果即可
（2）根据（1）的计算结果写出猜想即可．
（3）当为正整数时，写出猜想的结果，然后根据乘方的意义说明理由即可．
（4）利用（3）的结论计算出值即可．
【解答】解：（1）计算下面两组算式：
①；．
②；．
（2）根据（1）计算结果猜想：．
（3）当为正整数时，．
理由：当为正整数时．
．
即：当为正整数时，．
（4）．
知识点二 科学计数法


内容
科学计数法
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
【注意】万是十的_____次方，亿是十的_____次方，万亿是十的_____次方.
题型三 科学计数法

例1
2022年4月18日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值270178亿元．同比增长4.8%，比2021年四季度环比增长1.3%．把27017800000000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解:
故选B．
例2
2021年5月11日上午，第七次全国人口普查主要数据结果正式发布．2020年11月1日零时，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%;年平均增长率为0.53%．数据141178万用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】
解：141178万．
故选C．
例3
2020年，新冠病毒全球肆虐，据世界卫生组织公布的数据，截至2022年1月16日，美国累计确诊病例超6670万，这个数据用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：6670万=66700000=6.67×107．
故选：D．
变1
电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战土在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以57.7亿元取得中国电影票房冠军．其中57.7亿用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中1≤|a|