1.5 有理数的乘除法（含pdf版）-2023-2024学年小升初（新七年级）数学暑假衔接教材（人教版）

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❊1.5 有理数的乘除法
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1.根据我们可将拆分成_______；
2.根据我们可将拆分成_______；
3观察代分数很接近整数_______，所以，我们可以将拆分成_______，方便我们计算；
4.观察代分数很接近整数_______，所以，我们可以将拆分成_______，方便我们计算.
题型精析

知识点一 有理数的乘法法则


内容
有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
多个有理数相乘的法则
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
知识点二 倒数


内容
倒数的定义
乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】1.0没有倒数；2.倒数等于它本身的数有1和-1.
知识点三 有理数的乘法运算律


内容
乘法交换律

乘法结合律

乘法分配律

知识点四 确定乘积符号


内容
若ab > 0
则a，b同号且都不为0
若ab < 0
则a，b异号且都不为0
若ab = 0
则a、b中至少有一个数为0
题型一 概念辨析

例
下列说法中，不正确的个数有（　　）
①符号相反的数叫相反数；
②四个有理数相乘，若有两个负因数，则积为正；
③倒数等于本身的数只有1；
④相反数等于本身的数只有0；
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解题思路】①根据相反数的定义即可求解；
②根据有理数的乘法法则即可求解；
③根据倒数的定义即可求解；
④根据相反数的定义即可求解．
【解答过程】解：①只有符号相反的数叫相反数，故①符合题意；
②四个有理数（0除外）相乘，若有两个负因数，则积为正，故②符合题意；
③倒数等于本身的数有±1，故③符合题意；
④相反数等于本身的数只有0是正确的，故④不符合题意．
故选：D．
变1
列说法中正确的有（　　）
①同号两数相乘，符号不变；
②异号两数相乘，积取负号；
③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；
④绝对值等于本身的数是正数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可．
【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；
④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误；
故选：A．
变2
下列叙述正确的是（　　）
A．互为相反数的两数的乘积为1
B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0
D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．
【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．
B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．
C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．
D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、
故选：B．

题型二 因数符号判断（乘法）

例1
若为正数，为负数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】有理数的加法；有理数的乘法
【分析】根据有理数的乘法法则判断，选项；根据有理数的加法法则判断，选项．
【解答】解：为正数，为负数，
，故选项不符合题意，选项符合题意；
的符号无法判断，取决于绝对值较大的数的符号，故，选项不符合题意；
故选：．
例2
a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a、b两数异号，且正数的绝对值大
C．a＜0，b＜0
D．a、b两数异号，且负数的绝对值大
【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出答案．
【解答过程】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：B．
变1
若ab＜0，a-b＜0，则a、b这两个数（　　）
A．a＜0，b＜0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＞0，b＞0
【解题思路】根据ab＜0，得出a、b异号，再根据a﹣b＜0，得出a＜0，b＞0．
【解答过程】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
∵a﹣b＜0，
∴a＜0，b＞0；
故选：C．
变2
已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，则a、b的符号是（　　）
A．同为正
B．同为负
C．a正b负
D．a负b正
【解题思路】根据ab＜0可得a，b异号，再由a＞b即可判断出答案．
【解答过程】解；∵ab＜0，∴a，b异号
又a+b＞0且a＞b，∴a正b负．
故选：C．
例3
有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【考点】数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的乘法
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据有理数的加法法则判断选项；根据有理数的乘法法则判断选项．
【解答】解：选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，，，
，故该选项符合题意；
选项，，，
，故该选项不符合题意；
故选：．
例4
如图，数轴上、两点分别对应有理数a，b，则下列结论：①；②；③；④； ⑤； ⑥；其中正确的有（　　）

A．1个
B．2个
C．3个 3
D．4个
【考点】绝对值；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的加法；数轴
【分析】根据数轴图知，，再根据有理数加法、减法、乘法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴图知：，，
，，，，，，
故正确的有④⑤两个．
故选：．
变3
有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面结论正确的是（　　）

A．
B．
C． 3
D．
【考点】绝对值；数轴；有理数的减法；有理数的乘法
【分析】根据有理数的乘法判断选项；根据有理数的减法判断选项；根据绝对值的性质判断选项；根据绝对值的定义判断选项．
【解答】解：选项，，，
，故该选项不符合题意；
选项，
，故该选项不符合题意；
选项，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
故选：．
变4
若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．
B．
C． 3
D．
【考点】有理数的加法；有理数的乘法；有理数的减法；数轴
【分析】：根据，，进行判断；
：根据，，进行判断；
：根据，，进行判断；
：根据，，，进行判断．
【解答】解：，，
，
符合题意；
，，
，
不符合题意；
，，
，
不符合题意；
，，，
，
不符合题意；
故选：．

题型三 倒数

例1
的倒数是（　　）
A．
B．
C． 3
D．
【考点】绝对值；倒数
【分析】根据绝对值，倒数的定义进行计算即可．
【解答】解：，
，
的倒数是，
故选：．
例2
若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（　　）
A．-8
B．-5 -5
C．-1 3
D．16
【考点】相反数；倒数
【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1，由此可解出此题．
【解答】解：，互为相反数，的倒数是4，
，，



．
故选：．
变1
下列说法正确的个数是（　　）
①的相反数是2022；②的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3
B．2 -5
C．1 3
D．0
【考点】绝对值；相反数；倒数
【分析】根据相反数的定义判断①；根据绝对值的性质判断②；根据倒数的定义判断③．
【解答】解：①的相反数是2022，故①符合题意；
②的绝对值是2022，故②符合题意；
③的倒数是2022，故③符合题意；
正确的个数是3个，
故选：．
变2
已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则代数式2a-cd+2b的值为　 　．
【答案】-1

题型四 有理数的乘法及其运算规律

例1
计算：
（1）
（2）

（3）
（4）



【分析】（1）利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
（2）把小数转化为分数，再利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
（3）利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
（4）利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
【解答】解：（1）

；
（2）


；
（3）



；
（4）．
变1
计算：
（1）
（2）
【分析】先确定积的符号，再计算积的绝对值．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
例2
计算：
（1）
（2）
（1）【分析】根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解．
【解答】解：


．
（2）【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
，
．
变2
计算：．
【分析】先把小数化成分数，带分数化成假分数，再分子与分母进行约分，即可求出答案．
【解答】解：

．
变3
计算：．
【分析】利用乘法交换律、结合律进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
，
．
题型五 有理数的乘法简便运算

例1
（1）可以拆分为______；（2）可以拆分为______.
【答案】；
变1
（1）可以拆分为______；（2）可以拆分为______.
【答案】；
例2
学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．
小明的解法：原式；
小军的解法：原式．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：．
【考点】有理数的加减混合运算；有理数的乘法
【分析】（1）小军的方法计算简便；
（2）原式，再由乘法分配律进行运算即可；
（3）原式，再运算即可．
【解答】解：（1）小军的解法较好；
（2）



；
（3）



．

例3
在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】有理数的乘法
【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案．
【解答】解：，
根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为，可以简便运算．
故选：．
变2
用简便方法计算：（1） （2）
【分析】原式各项变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．


例4
计算：（1） （2）
（1）【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
，
，
．
（2）【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【解答】解：原式

．
变3
用简便方法计算：.
【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：



．

变4
计算：．
【分析】根据乘法的分配律进行计算即可．
【解答】解：原式


知识点五 有理数的除法法则


内容
有理数的除法法则
除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】0除以任何不为0的数，都得0.
知识点六 确定乘积符号


内容
若
则a，b同号且都不为0
若
则a，b异号且都不为0
若
则a为0
题型六 因数符号判断（除法）

例1
如果a＞0，b＜0，那么下列结果正确的是（　　）
A．ab＞0，＞0
B．ab＞0，＜0
C．ab＜0，＞0
D．ab＜0，＜0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法和除法法则即可得出判断．
【详解】
解：∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，＜0，
故选：D．
例2
若a+b＞0，a-b＜0，0，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a＜0，b＞0且|a|＜|b|
D．a＞0，b＜0且|a|＞|b|
【解题思路】直接利用有理数的除法运算、加法、减法运算法则以及绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答过程】解：∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∵ab＜0，
∴a＜0＜b，
∵a+b＞0，
∴|a|＜|b|．
故选：C．
变1
在下列各题中，结论正确的是（　　）
A．若a＞0，b＜0，则
B．若a＞b，则a-b＞0
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0
D．若a＞b，a＜0，则
【解题思路】根据有理数的乘法法则和除法法则进行判断．
【解答过程】解：A．两数相除，异号得负，该选项错误，不符合题意；
B．∵a＞b，∴a﹣b＞0，该选项正确，符合题意；
C．两数相乘，同号得正，该选项错误，不符合题意；
D．∵a＞b，a＜0，∴1＜ba，∴ba＞1，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
变2
如果a+b＜0，ab＞0，那么下列各式中一定正确的是（　　）
A．a-b＞0
B．
C．b-a＞0
D．
【解题思路】直接利用有理数的乘除运算法则以及加减运算法则判断得出答案．
【解答过程】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a，b同为负数，
∴ab＞0，
故选：B．
题型七 有理数的除法运算

例1
计算：
（1）
（2）
（3）


（4）
（5）
（6）


【答案】（1）0；（2）2；（3）；（4）；（5）；（6）2
【解析】
【分析】
利用除法法则计算即可．
【详解】
解：（1）；                  
（2）                      
（3）；
（4）；                    
（5）        
（6）；
变1
计算：
（1）
（2）



（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
【详解】
解：（1）；                      
（2）；
（3）；          
（4）


．
例2
计算：（）÷（-）．
【答案】．
【解析】
【详解】
解：原式


．
变2
计算：（-+-）÷（-）．
【答案】-2
【解析】
【分析】
先变成乘法再用乘法分配律计算即可．
【详解】
原式=（﹣+﹣）
=（﹣）++（﹣）
=2+(-9)+5
=-2
例3
请你认真阅读下列材料：
计算：
解法一：因为原式的倒数=．
所以原式，
解法二：原式．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？
（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：．
【答案】（1）解法二错误，因为除法没有分配律；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据除法没有分配律即可识别解法二错误；
（2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简算求出结果，然后求出其倒数求出原数即可．
【详解】
（1）解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配率进行计算肯定出现错误．
（2）因为原式的倒数为
，
，
，
，
，
所以原式．
变3
数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以．
（1）请你通过计算验证小明的解法的正确性；
（2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______；
（3）请你运用小明的解法计算：．
【答案】（1）见解析；（2）这个数本身；（3）-3
【解析】
【分析】
（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可；
（2）根据题意得出结论即可；
（3）仿照已知的方法计算即可．
【详解】
（1）
∴小明的解法的正确
（2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身
（3）
∴
变4
计算：
（1）
（2）





（3）通过计算，我们发现上面两题的答案有什么关系？
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】
（1）除法变乘法，再用乘法分配律即可求解；
（2）先算括号内的，然后再进行除法运算即可．
【详解】
（1）



=6-2+9-5
=8；
（2）原式=．

（3）互为倒数




题型八 有理数的乘除混合运算

例1
计算：.
【答案】﹣
【解析】
【分析】
先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可．
【详解】
解：
﹣
＝﹣．
例2
计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数的乘除法法则计算即可．
【详解】
解：原式
．
变1
计算：.
【解题思路】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答过程】解：原式=158×−110×10−3×−415
=−16


变2
计算：
（1）
（2）
【解题思路】（1）先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则求出即可；
（2）先把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则求出即可．
【解答过程】解：（1）原式=34×25×53
=12；

（2）原式=916×（−23）×1924
=−1964．
题型九 乘除的应用（含绝对值）

例1
若，，且，则的值是_______.
解：由题意得：
因为|x|=3，所以x=_____，
又因为|y|=2，所以y=_____，
因为xy>0，所以x，y_____（同号/异号），所以，
①当x=_____，y=_____，时，x+y=_____；
②当x=_____，y=_____，时，x+y=_____.
【答案】或5
【分析】先根据绝对值的性质得到、的值，由于，分情况讨论即可求得的值．
【详解】解：，，
，，
，
当时，，；
当时，，．
故的值为或5．
例2
已知，，且，则的值为_______.
解：由题意得：
因为|x|=8，所以x=_____，
又因为|y|=2，所以y=_____，
因为，所以x，y_____（同号/异号），所以，
①当x=_____，y=_____，时，=_____；
②当x=_____，y=_____，时，=_____.
【答案】
【分析】根据绝对值的概念先求x和y的值，再根据xy小于0来判断它们异号，最后算出它们的商即可．
【详解】，
，
又
，或，
当，时
当，时，
综上所述，的值为．
故答案为：．
例3
已知：，，且，，则_______.
解：由题意得：
因为|x|=3，所以x=_____，
又因为|y|=2，所以y=_____，
因为xy>0，所以x，y_____（同号/异号），又因为，所以，
①当x=_____，y=_____，时，x-y=_____；
②当x=_____，y=_____，时，x-y=_____.
【答案】5
【分析】根据绝对值的意义和正负数的意义，求出x和y的值然后求解即可．
【详解】∵，，
∴或-2，或-3，
∵，
∴和异号，
又∵，
∴，，
∴，
故答案为：5．
变1
若，且，则_______.
解：由题意得：
因为|x|=7，所以x=_____，
又因为|y|=5，所以y=_____，
因为xy>0，所以x，y_____（同号/异号），所以，
①当x=_____，y=_____，时，x+y=_____；
②当x=_____，y=_____，时，x+y=_____.
【答案】
【分析】根据求出x，y的值，再根据，可得x，y同号，代入求值即可．
【详解】∵
∴
∵
∴x，y同号
∴
故答案为：．
变2
计算：已知，．若，求的值．
【答案】8
【分析】根据绝对值的定义，化简得x＝±5，y＝±3，再根据，得x，y异号，即当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8，故|x﹣y|的值为8．
【详解】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
∵xy＜0，
∴x，y异号，
∴当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；
当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8；
综上所述，|x﹣y|的值为8．
变3
已知，，且，，则_______.
解：由题意得：
因为|x|=3，所以x=_____，
又因为|y|=5，所以y=_____，
因为xy