第09讲 整式的规律探索-2024年小升初暑假数学衔接试题（人教版）

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·模块一 与数有关的规律探索
·模块二 与式有关的规律探索
·模块三 与图形排列有关的规律探索
·模块四 课后作业
模块一
与数有关的规律探索
【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1=1，第二个三角形数记为a2=3，…，则第100个三角形数记为a100=______．
【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到a+b+c+d的值为（ ）
A．355B．356C．435D．436
【例3】电子青蛙在数轴上的某点x0处，第一步从x0向右跳1个单位到x1，第二步从x1向左跳2个单位到x2，第三步从x2向右跳3个单位到x3，第四步从x3向左跳四个单位到x4，以此类推，按以上规律跳了50步时，电子青蛙在数轴上点x50所表示的数恰好是10，则电子青蛙的初始点位置x0所表示的数字是______，点x2n+1所表示的数是______（用含n的代数式表示，n是非负整数）．
【变式1】观察下面的三行单项式
x、2x2、4x3、8x4、16x5、32x6、……
－2x、4x2、－8x3、16x4、－32x5、64x6、……
2x2、－3x3、5x4、－9x5、17x6、－33x7、……
根据你发现的规律：
(1)第①行第n个单项式为______
(2)第②行第n个单项式为______
(3)第③行第n个单项式为______
(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝12时，512（A＋14）的值．
【变式2】已知一列数m，n2，m+n2，m+2n2，2m+3n2，3m+5n2，…，按照这个规律写下去，第9个数是______．
【变式3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则x的值是（ ）
A．307B．392C．406D．458
模块二
与式有关的规律探索
【例1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
11×3=12(1−13)；13×5=12(13−15)；15×7=12(15−17)；
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求11×3+13×5+15×7++12017×2019的值.
【例2】观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，…按此规律，则第n个等式为2n−1=__________________．
【例3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数n的个数 和（S）
1————————→2=1×2
2———————→2+4=6=2×3
3———————→2+4+6=12=3×4
4——————→2+4+6+8=20=4×5
5—————→2+4+6+8+10=30=5×6
(1)这个规律，当n=6时，和为____________；
(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和S____________；（用含有n的式子表示）
(3)应用上述公式计算：
①2+4+6+⋯+200；
②202+204+206+⋯+300．
【变式1】观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____．
【变式2】如图，
(1)根据图示规律，完成填空；
(2)通过计算说明“ ”成立的理由．
【变式3】若规定运算符号“▲”满足下列各式：
1▲3=3×1−2×3
2▲−4=3×2−2×−4
0▲−7=3×0−2×−7
−12▲5=3×−12−2×5
−25▲−34=3×−25−2×−34
…
根据以上规律，求解下列各题：
（1）a▲b= ；
（2）若2m−n=3，求2m+n▲−4m+5n的值．
模块三
与图形排列有关的规律探索
【例1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第4个图形中三角形的个数比圆的个数多_______个．第n个图形中三角形的个数比圆的个数多____________个．（由含 n 的代数式表示）
【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第1个图案有3颗五角星，第2个图案有7颗五角星，第3个图案有11颗五角星，第4个图案有15颗五角星……依此规律，第2022个图案有___________颗五角星．
【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，第n个图案需要_________根火柴棒，第2022个图案需要_________根火柴棒．
【变式1】如图是一组用“●”组成的图形，第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，根据这样的规律，第150个图形中“●”的个数是___________个．
【变式3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去．
(1)第5个图案有 ___________个三角形；
(2)第n个图案有 ___________个三角形；(用含n的式子表示)
(3)第2022个图案有几个三角形？
模块四
课后作业
1．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a−b−c的值是（ ）
A．−190B．−66C．62D．6
2．根据图中数字的规律，则x+y的值是______．
3．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第1个图案需7根火柴， 第2个图案需13根火柴， ⋯， 依此规律， 第5个图案需___________根火柴棒， 第20个图案需___________火柴棒．

4．有一组单项式依次为x23,−x56,x811,−x1118,⋅⋅⋅，根据它们的规律，请写出第8个单项式________．
5．观察下列多项式：2a−b3，4a+b26，8a−b39，16a+b412，……按此规律，则第n个多项式是____________．
6．观察33=9=4+5则有32+42=52；52=25=12+13，则有52+122=132；72=49=34+25，则有72+242=252；按此规律接续写出两个式子________．
7．用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？
8．观察下列等式．
第1个等式22−12=2×1+1；
第2个等式32−22=2×2+1；
第3个等式42−32=2×3+1；
第4个等式52−42=2×4+1；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式为________．
(2)猜想第n个等式为________（用含n的式子表示）．
(3)观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当n=1时，a=4，b=1；当n=2时，a=9，b=4；当n=3时，a=16，b=9；…当n=2023时，求a−b的值．
9．定义一种新运算，规律如下：
2⊗3＝2×5﹣3＝7；
3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；
（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．
（1）请你想一想：a⊗b＝ ．
（2）请计算：（﹣2）⊗8＝ ．
（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．
10．请观察下列算式，找出规律并填空
(1)①11×2=1−12，②11×3=12×1−13，③13=13×1−14，④11×5=14×1−15，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______．
(2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足a−1+b−32=0，求1ab+1a+2b+2+1a+4b+4+⋅⋅⋅+1a+100b+100的值．
11．观察以下等式：
1×2=13×(1×2×3−0×1×2)；2×3=13×(2×3×4−1×2×3)……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)1×2+2×3+3×4+……+10×11= ；
(2)计算1×2+2×3+3×4+……+nn+1（结果用含n的代数式表示）．
12．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空:
(1)a=_______．
(2)按种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_______（用含n的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用2021根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由．图形标号
①
②
③
④
⑤
……
火柴棒根数
5
9
______
______
______
……
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
5
9
13
17
a