人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时导学案，共19页。
第三章　圆锥曲线的方程
3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
基础过关练
题组一　双曲线的简单几何性质
1.双曲线x22-y2=1的右顶点坐标为(　　)
A.(1,0)　　　　B.(2,0)
C.(3,0)　　　　D.(2,0)
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于(　　)
A.-14　　B.−4　　C.4　　D.14
3.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A.x2-y2=8　　　　B.x2-y2=4
C.y2-x2=8　　　　D.y2-x2=4
4.(2023安徽合肥一六八中学月考)王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时,有四位同学分别给出了一个结论:
甲:该双曲线的实轴长是43;乙:该双曲线的虚轴长是2;丙:该双曲线的焦距为8;丁:该双曲线的离心率为233.
如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　
C.丙　　　　D.丁
5.(2023河南郑州外国语学校期中)已知某双曲线过点(2,3),它的一条渐近线方程为y=3x,则双曲线的标准方程是(　　)
A.7x216−y212=1　　　　B.y23−x22=1
C.x2-y23=1　　　　D.3y223−x223=1
6.(2023重庆一中期中)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则双曲线C的标准方程为(　　)
A.x28−y210=1　　　　B.x25−y24=1
C.x24−y25=1　　　　D.x24−y23=1
7.(2023四川成都树德中学期末)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若C的右支上存在一点M,满足2|MF1|=3|MF2|,则双曲线C经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为(　　)
A.(0,26]　　　　B.[26,+∞)
C.(0,5]　　　　D.[5,+∞)
8.(2023湖北武汉华中师大一附中期中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=3x,一个焦点为(2,0),则a=　　　　. 
9.已知双曲线C与双曲线x29−y216=1有共同的渐近线,且经过点A(-3,23),求双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离.
题组二　求双曲线的离心率的值或者范围
10.(2023湖南邵阳二中期中)双曲线x24−y23=1的离心率是(　　)
A.32　　B.54　　C.72　　D.52
11.(2022浙江杭州联考)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4,其焦点到渐近线的距离为3,则该双曲线的离心率为(　　)
A.52　　B.72　　C.3　　D.5
12.若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线y=2围成了一个等边三角形,则C的离心率为(　　)
A.32　　B.3+1　　C.3　　D.2
13.(2023河南商丘月考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是双曲线C的左顶点,以F1,F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,且∠PAQ=3π4,则双曲线C的离心率为(　　)
A.2　　B.3　　C.2　　D.5
14.(2023湖南衡阳四中期中)已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下、上焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D.若|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,则C的离心率的取值范围为(　　)
A.1,53　　　　B.53,2
C.(1,2)　　　　D.53,+∞
15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作一条渐近线的垂线,垂足为A,与另一条渐近线交于点B,若F1B=3AF1,求C的离心率.
16.已知点P在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上,F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=2c,若asin∠PF1F2=3csin∠PF2F1,求该双曲线离心率的取值范围.
能力提升练
题组一　求双曲线的离心率或取值范围

1.(2023河南信阳质检)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于P,若点P在以F1F2为直径的圆外,则双曲线C离心率的取值范围是(　　)
A.(2,+∞)　　　　B.(3,2)
C.(2,3)　　　　D.(1,2)
2.(2023陕西榆林五校期中联考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与圆x2+y2=a2相切,与C的左、右两支分别交于点A,B,若|AB|=|BF2|,则C的离心率为(　　)
A.5+23　　　　B.5+23
C.3　　　　D.5
3.(2023浙江A9协作体期中)已知F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,以F1O为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A(A在第二象限),射线F1A与双曲线的另一条渐近线相交于点B,满足S△BOF2=2S△AOF1,则双曲线的离心率为　　　　. 
4.(2023辽宁锦州期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P在双曲线C的右支上,满足PF1·PF2=0,|PF1|>2|PF2|,又直线l:2x+3y-2c=0与双曲线C的左、右两支各交于一点,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　. 
5.(2023浙江湖州中学期中)过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的任意一点P作双曲线两条渐近线的平行线,分别交两条渐近线于点M,N,若OM·ON≥14b2,则双曲线离心率的取值范围是　　　　. 
6.设F1,F2为椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>b2>0)的公共焦点,C1与C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e1∈34,223,求双曲线C2的离心率e2的取值范围.




题组二　双曲线性质的综合应用
7.(2023吉林长春实验中学期中)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则2e1+e22的最小值为(　　)
A.6　　　　B.3
C.6　　　　D.3
8.(2023江西临川一中期中)已知双曲线Γ:y2a2−x2b2=1(a>b>0)的上焦点为F(0,c)(c>0),M是双曲线下支上的一点,线段MF与圆x2+y2-2c3y+a29=0相切于点D,且|MF|=3|DF|,则双曲线Γ的渐近线方程为(　　)
A.4x±y=0　　　　B.x±4y=0
C.2x±y=0　　　　D.x±2y=0
9.(多选题)(2023河南许平汝名校期中联考)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作倾斜角为π3的直线分别交y轴、双曲线的右支于点M,P,且|MP|=|MF1|,则下列判断正确的是(　　)
A.∠F1PF2=π6
B.E的离心率等于2+3
C.△PF1F2的内切圆半径一定是3-1
D.双曲线渐近线的方程为y=±2x
10.(多选题)(2023江苏南通期中)已知双曲线C:x2-y23=1,C的两条渐近线分别为l1,l2,P为C右支上任意一点,它到l1,l2的距离分别为d1,d2,到右焦点F的距离为d3,则(　　)
A.d1的取值范围为32,+∞
B.d3的取值范围为[2,+∞)
C.d1+d2的取值范围为[3,+∞)
D.d1+d3的取值范围为[3,+∞)
11.已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=26上,圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P,Q两点,点E(a,0)满足EP+EQ=−EO(其中O是坐标原点),求△OPQ的面积.

答案与分层梯度式解析
第三章　圆锥曲线的方程
3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
基础过关练
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.C
7.A
10.C
11.B
12.D
13.D
14.A




1.B
2.A　双曲线方程化为标准形式为y2-x2−1m=1,则a2=1,b2=-1m.由题意得2=−1m,解得m=-14.
3.A　设等轴双曲线的方程为x2a2−y2a2=1(a>0).在直线3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),∴c=4,∴a2=12c2=12×16=8,故所求双曲线的方程是x2-y2=8.故选A.
4.B　甲:2a=43,故a=23;乙:2b=2,故b=1;丙:2c=8,故c=4;丁:e=ca=233,故c=233a.综合四个结论,可知甲、丙、丁三者的结论同时成立,此时b=c2−a2=16−12=2,所以乙同学的结论错误.故选B.
5.C　因为双曲线的一条渐近线方程为y=3x,所以可以设此双曲线的方程为y23-x2=λ,λ≠0,
又双曲线过点(2,3),故323-22=λ,解得λ=-1,所以双曲线的方程为y23-x2=-1,即x2-y23=1.故选C.
6.C　由题意设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),因为双曲线C的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,所以ba=52,a2+b2=9,解得a=2,b=5(负值舍去),所以双曲线C的标准方程为x24−y25=1.故选C.
7.A　由题易得双曲线C的渐近线方程为y=±bax,其中过第一、三象限的渐近线的方程为y=bax,其斜率为ba.设|MF1|=s,|MF2|=t,由2|MF1|=3|MF2|,可得2s=3t①,
因为M在双曲线的右支上,所以根据双曲线的定义可知s-t=2a②,由①②解得s=6a,t=4a.
由于M在双曲线的右支上,所以|MF1|=6a≥a+c,即5a≥c,
两边平方得25a2≥c2,又c2=a2+b2,所以24a2≥b2,即b2a2≤24,所以ba∈(0,26].故选A.
8.答案　1
解析　由双曲线方程x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)可得渐近线方程为y=±bax,所以ba=3,又因为c=a2+b2=2,所以a=1.
9.解析　设双曲线C的方程为x29−y216=λ(λ≠0),
将(-3,23)代入双曲线方程,解得λ=14.
所以双曲线的方程为4x29−y24=1,
易得双曲线4x29−y24=1的一个焦点坐标为52,0,一条渐近线方程为y=43x,即4x-3y=0,
由双曲线的对称性知一个焦点到一条渐近线的距离是109+16=2.
10.C　由双曲线x24−y23=1可知,a2=4,b2=3,所以c2=a2+b2=7,故离心率e=ca=72.故选C.
11.B　由题意可得a=2,一条渐近线方程为bx+ay=0.
设双曲线的右焦点为F(c,0),则|bc|a2+b2=|bc|c=3,所以b=3,所以c=a2+b2=7,所以离心率e=ca=72.故选B.
12.D　由题意得,渐近线y=bax与y轴的夹角为30°,则其倾斜角为60°,故其斜率为3,所以ba=3,
所以C的离心率e=ca=1+b2a2=2.故选D.
13.D　易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,双曲线的渐近线方程为y=±bax,不妨设渐近线PQ的方程为y=bax,其与圆在第一象限的交点为P,
联立y=bax,x2+y2=c2,解得x=a,y=b,或x=−a,y=−b,∴P(a,b),Q(-a,-b),又∵A(-a,0),∴AQ⊥x轴,
∴由∠PAQ=3π4得∠PAF2=π4,∴tan∠PAF2=1=kPA=b−0a+a,∴b=2a,∴c2-a2=b2=4a2,∴c2=5a2,∴e=ca=5.故选D.
14.A　由题知|F1F2|=2c,点F1到渐近线y=±abx的距离d=bca2+b2=b.由双曲线的定义可得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,则|MD|+|MF2|=|MD|+|MF1|+2a的最小值为d+2a=2a+b,由|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,得|MD|+|MF2|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c,即b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,故1c-a,化简可得3c2-4ac-a23a2,故c>2a,即e>2,故选A.
2.A　不妨设A,B在x轴上方,由|AB|=|BF2|,得|AF1|=|BF1|-|BA|=|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF2|=|AF1|+2a=4a,
因为直线BF1与圆x2+y2=a2相切,
所以sin∠AF1O=ac,所以cos∠AF1O=bc,
在△AF1F2中,由余弦定理的推论得
cos∠AF1O=(2a)2+(2c)2−(4a)22·2a·2c=bc,
化简得c2-3a2=2ab,所以b2-2a2-2ab=0,即ba2−2ba-2=0,所以ba=1+3,
于是e=ca=1+ba2=5+23.

3.答案　2
解析　由题意得F1A⊥AO,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N,如图.

因为S△BOF2=2S△AOF1,|OF1|=|OF2|,所以|BN|=2|AM|,故|F1B|=2|F1A|,即A为BF1的中点,
易得△OBF1是等腰三角形,所以|OB|=|OF1|=c,点F1(-c,0)到渐近线y=-bax的距离为|F1A|=bca1+−ba2=b,在△AF1O中,由勾股定理得|OA|=|F1O|2−|F1A|2=a,
由渐近线的对称性可知∠AOM=∠BON,又AM⊥x轴,BN⊥x轴,所以△AOM∽△BON,故|OA||OB|=|AM||BN|=12,即ac=12,所以离心率e=ca=2.
4.答案　133,5
解析　因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,由题意及双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,
在△PF1F2中,由勾股定理知(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,整理得,(|PF2|+a)2=2c2-a2,
又|PF1|>2|PF2|,故2a+|PF2|>2|PF2|,即|PF2|0),结合c2=a2+b2,化简得b=2a,
∴双曲线Γ的渐近线方程为x±2y=0,故选D.
9.AB　由题易知M,O(坐标原点)分别是PF1,F1F2的中点,所以在△PF1F2中,PF2∥MO,所以PF2⊥x轴.
对于A,因为直线PF1的倾斜角为π3,所以∠F1PF2=π6,故A正确;
对于B,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,|PF2|=23c,|PF1|=4c,所以|PF1|-|PF2|=2a=4c-23c,故离心率e=ca=2+3,故B正确;
对于C,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=(6+23)c,设△PF1F2的内切圆半径为r(r>0),根据三角形的等面积法,可得(6+23)cr=2c·23c,解得r=(3-1)c,故C错误;
对于D,ba=c2a2−1=6+43,故双曲线渐近线的方程为y=±6+43x,故D错误.
故选AB.
10.CD　由题可知,a=1,b=3,c=a2+b2=1+3=2,设P(x1,y1)(x1≥1),右焦点F到渐近线的距离为d4.
易得两条渐近线的方程分别为y=3x,y=-3x,根据双曲线的对称性,不妨设它们所对应的直线分别为l1,l2,
则d1=|3x1−y1|3+1,d2=|3x1+y1|3+1,d1d2=|3x12−y12|4,d4=233+1=3,又P(x1,y1)在双曲线上,故x12−y123=1,即3x12−y12=3,故d1d2=34,
d3=(x1−2)2+(y1−0)2=(x1−2)2+3x12−3=4x1−122≥1,故B错误;
d1+d2≥2d1d2=234=3,当且仅当d1=d2=32时等号成立,故C正确;
由图可知,d1+d3≥d4=3,故D正确;

由双曲线的性质知,当|x|无穷大时,双曲线与渐近线无限接近,所以d1的最小值无限趋近于0,所以d1无最小值,故A错误.
故选CD.
11.解析　因为双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=26上,所以c=26.
设线段PQ与x轴的交点为M,结合双曲线与圆的对称性可知M为线段PQ的中点,
因为EP+EQ=−EO,所以2EM=−EO,
又点E(a,0),所以M3a2,0.
易得直线OP的方程为y=abx,所以P3a2,3a22b,
又点P在圆O上,所以3a22+3a22b2=26,
又a2+b2=26,所以a2=8,b2=18,故a=22,b=32,
从而P(32,22),故S△OPQ=12×32×22×2=12.