选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时学案

这是一份选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时学案，共15页。

第三章　圆锥曲线的方程
3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
基础过关练
题组一　椭圆的简单几何性质及其应用
1.(2023福建泉州期中)曲线x25+y29=1与曲线x25−k+y29−k=1(k<5)的(　　)
A.长轴长一定相等　　　　B.短轴长一定相等
C.离心率一定相等　　　　D.焦距一定相等
2.(2023河南灵宝月考)已知椭圆C:x29+y2=1,则下列关于椭圆C的说法正确的是(　　)
A.离心率为13
B.焦点为(±22,0)
C.长轴长为3
D.椭圆C上的点的横坐标的取值范围为[-1,1]
3.(2022北京第一七一中学期中)已知P1(1,1),P2(0,1),P3−1,32,P41,32四点中恰有三点在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,则a=(　　)
A.8　　B.6　　C.4　　D.2
4.(2023四川宜宾四中期中)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=32|BF2|,|BF1|=2|BF2|,则椭圆C的方程为(　　)
A.x22+y2=1　　　　B.x23+y22=1
C.x24+y23=1　　　　D.x25+y24=1
5.(2023上海复旦大学附属中学期中)椭圆x2k2+y23=1(k>0)的焦距为2,则实数k的值为　　　　. 
题组二　求椭圆的离心率的值或取值范围
6.(2023黑龙江大庆期中)椭圆x236+y220=1的离心率是(　　)
A.13　　B.23　　C.12　　D.34
7.(2022陕西西安七校联考)已知椭圆x29+y2b=1(9 A.0,22　　　　B.22,1　　
C.0,22　　　　D.22,1
8.(2023四川成都外国语学校期中)画法几何创始人蒙日发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,且圆半径的平方等于椭圆长半轴、短半轴的平方和,此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆x26+y2b2=1的蒙日圆方程为x2+y2=10,则该椭圆的离心率为(　　)
A.23　　B.13　　C.33　　D.63
9.(2023湖南期中联考)已知F是椭圆E的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=3|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E的离心率为(　　)
A.76　　B.13　　C.74　　D.14
10.(2023河南郑州外国语学校期中)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,点M在C上,且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍,则椭圆的离心率为　　　　. 
11.(2023江苏省金湖中学、洪泽中学等四校联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A,B.
(1)若椭圆C上的点M1,32到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程;
(2)设直线x=a2c与x轴交于点H,点O为坐标原点,试求|F2B|OH|的最大值;
(3)若P是椭圆C上异于A,B的任一点,记直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-12,试求椭圆C的离心率.
题组三　椭圆的简单几何性质的综合运用
12.(2023北京八中期中)“m>2”是“方程x2m2+y2m+2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2023四川成都八中开学考试)我们把离心率为22的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”,且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1,F2为顶点的三角形的面积的最大值为4,则椭圆C的方程为(　　)
A.x22+y2=1　　　　B.x24+y22=1
C.x26+y23=1　　　　D.x28+y24=1
14.(2023河南名校期中联考)若点O和点F分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为(　　)
A.a(a+c)　　　　B.b(a+c)
C.a(a-c)　　　　D.b(a-c)
15.(2022四川双流永安中学期中)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=13,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若PF·PA的最大值是12,求椭圆的方程.

能力提升练
题组一　求椭圆的离心率的值或取值范围

1.(2023湖南衡阳四中期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为(　　)
A.32　　B.22　　C.12　　D.13
2.(2023天津汇文中学月考)已知椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P,Q两点,若∠F1PF2为直角,则椭圆E的离心率为(　　)
A.53　　B.23　　C.23　　D.13
3.(多选题)(2023福建师大附中期中)已知点F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上的一点(异于左、右顶点),若存在以22c为半径的圆内切于△PF1F2,则该椭圆的离心率可能为(　　)
A.22　　B.12　　C.13　　D.14
4.(2023广东广州四校联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上不与左、右顶点重合的一点,I为△PF1F2的内心,且3IF1+2IF2=2PI,则C的离心率为(　　)
A.13　　B.25　　C.33　　D.65
5.(2023湖南长沙雅礼中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,C上的A,B两点关于原点对称,|FA|=2|FB|,且FA·FB≤49a2,则C的离心率的取值范围是　　　　. 
题组二　椭圆几何性质的综合运用
6.(多选题)(2023吉林省实验中学期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,其中a,b,c均大于0,则(　　)

A.a-c=m+R　　　　B.a+c=n+R
C.2a=m+n　　　　D.b=(m+R)(n+R)
7.(2023河南郑州第四高级中学调研)已知点P在椭圆x216+y28=1上运动,过点P作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,求|AB|的最小值.
答案与分层梯度式解析
第三章　圆锥曲线的方程
3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
基础过关练
1.D
2.B
3.D
4.D
6.B
7.C
8.C
9.C
12.A
13.D
14.A





1.D　易知两曲线都是椭圆,
椭圆x25+y29=1的长轴长为29=6,短轴长为25,焦距为29−5=4,离心率为9−59=23;
椭圆x25−k+y29−k=1(k<5)的长轴长为29−k,短轴长为25−k,焦距为2(9−k)−(5−k)=4,离心率为(9−k)−(5−k)9−k=29−k.
综上,除焦距一定相等外,其他均不一定相等.故选D.
2.B　由椭圆方程x29+y2=1,可知a=3,b=1,∴c=22.
对于A,e=ca=223,故A错误;
对于B,因为c=22,且由方程可知椭圆的焦点在x轴上,所以焦点坐标为(±22,0),故B正确;
对于C,长轴长为2a=6,故C错误;
对于D,焦点在x轴上的椭圆C上的点的横坐标的取值范围为[-a,a],即[-3,3],故D错误.故选B.
3.D　由于椭圆关于y轴对称,且P3−1,32,P41,32关于y轴对称,故P3,P4必然同时在或同时不在椭圆上.由于四点中恰有三点在椭圆上,故P3,P4都在椭圆上.
若P1(1,1)在椭圆上,则1a2+1b2=1.因为P3,P4都在椭圆上,所以1a2+34b2=1.两个等式矛盾,故P1(1,1)不在椭圆上.
因此P2(0,1),P3−1,32,P41,32三个点在椭圆上,故1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2.故选D.
4.D　设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),|BF2|=2m,则|AF2|=3m,|BF1|=4m,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=|AF1|+|AF2|=6m,
所以|AF1|=6m-3m=3m,所以|AF1|=|AF2|,故点A为椭圆的上(下)顶点,则A(0,±b),
由|AF2|=32|BF2|,F2(1,0),得B53,±2b3,又点B在椭圆上,故259a2+49b2b2=1,解得a2=5,又由c=1,可得b=2,故椭圆C的方程为x25+y24=1.故选D.
5.答案　2或2
解析　∵椭圆x2k2+y23=1的焦距为2,∴k2-3=222或3−k2=222,又k>0,所以k=2或k=2.
6.B　由题意得a2=36,b2=20,∴a=6,c=a2−b2=36−20=4,∴离心率e=ca=46=23.故选B.
7.C　由题意得椭圆的长半轴长为b,短半轴长为3,所以离心率e=b−9b=b−9b=1−9b.因为b∈(9,18],所以9b∈12,1,所以e∈0,22.
8.C　由题意可知,蒙日圆的半径r=6+b2=10,所以b2=4,所以c2=6-4=2,
故椭圆的离心率e=26=33.故选C.
9.C　设椭圆E的右焦点为F',连接PF',QF',如图,

根据椭圆的对称性可知四边形PFQF'为平行四边形,则|QF|=|PF'|,又∠PFQ=120°,故∠FPF'=60°,
又|PF|=3|QF|,所以|PF|+|PF'|=4|PF'|=2a,则|PF'|=12a,|PF|=32a,在△PFF'中,由余弦定理可得|FF'|2=|PF|2+|PF'|2-2|PF||PF'|cos 60°=(|PF|+|PF'|)2-3|PF|·|PF'|,即4c2=4a2-94a2=74a2,∴椭圆的离心率e=c2a2=716=74.故选C.
10.答案　22
解析　由题知|MF1|+|MF2|=2a,
所以|MF1|·|MF2|=|MF1|(2a-|MF1|)=-|MF1|2+2a|MF1|=-(|MF1|-a)2+a2,
易知|MF1|∈[a-c,a+c],所以当|MF1|=a时,|MF1|·|MF2|取得最大值,为a2,当|MF1|=a-c或|MF1|=a+c时,|MF1|·|MF2|取得最小值,为-c2+a2=b2,
因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍,所以a2=2b2,所以c2=a2-b2=b2,所以a=2b,c=b,
所以椭圆的离心率e=ca=b2b=22.
11.解析　(1)由题知2a=4,解得a=2,故椭圆C的方程为x24+y2b2=1,将1,32代入方程x24+y2b2=1,解得b2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)易得|F2B|=a-c,|OH|=a2c,所以|F2B|OH|=a−ca2c=ac−c2a2=−e2+e=−e−122+14,e∈(0,1),
故当e=12时,|F2B|OH|取得最大值,且|F2B|OH|max=14.
(3)设点P的坐标为(x0,y0)(x0≠±a),则y02=b2a2(a2-x02),又A(-a,0),B(a,0),
所以k1·k2=y0x0+a·y0x0−a=y02x02−a2=b2a2(a2−x02)x02−a2=−b2a2,
又k1·k2=-12,所以b2a2=12,即1-e2=12,所以e=22.
12.A　由方程x2m2+y2m+2=1表示焦点在x轴上的椭圆,可得m2>m+2>0,解得-22.
∴“m>2”是“方程x2m2+y2m+2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选A.
13.D　由已知得e=ca=22,即c=22a,故b=a2−c2=22a.∵S△PF1F2=12|F1F2||yP|=c|yP|≤bc,即(S△PF1F2)max=bc=4,∴22a×22a=4,∴a2=8,故b2=12a2=4,∴椭圆C的方程为x28+y24=1.故选D.
14.A　因为点F为椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点,所以F(-c,0),设点P的坐标为(x0,y0),
则OP·FP=(x0,y0)·(x0+c,y0)=x02+cx0+y02.
∵P为椭圆上一点,∴x02a2+y02b2=1,∴y02=b2a2(a2-x02),
∴OP·FP=x02+cx0+y02=x02+cx0+b2a2(a2-x02)=c2a2x02+cx0+b2=c2a2x02+a2cx0+a44c2+b2−a24=c2a2x0+a22c2+b2−a24,
易知-a≤x0≤a,故当x0=a时,OP·FP取得最大值,为a(a+c).故选A.
15.解析　由题易知A(a,0),F(-c,0).
∵e=ca=13,∴a=3c.
设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c.
∵PF=(-c-x0,-y0),PA=(a-x0,-y0),
∴PF·PA=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)=-ac+cx0-ax0+x02+y02=−ac+cx0−ax0+x02+b2−b2a2x02=c2a2x02-(a-c)x0+b2-ac=19x02-(a-c)x0+a2-c2-ac=19x02−2cx0+5c2=19(x0-9c)2-4c2,-3c≤x0≤3c.
∴当x0=-3c时,PF·PA有最大值,且最大值为12c2,∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,
∴椭圆的方程为x29+y28=1.
能力提升练
1.A
2.A
3.CD
4.B
6.ABD



1.A　解法一:设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=nm+a·n−m+a=n2a2−m2=14(*).因为点P在椭圆C上,所以m2a2+n2b2=1,得n2=b2a2(a2-m2),代入(*)式,得b2a2=14,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e=ca=32.故选A.
解法二:设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-14=e2-1,所以e=32.故选A.
知识拓展　椭圆的一个性质
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点(长轴的端点除外)与长轴的两个端点所连直线的斜率之积为定值-b2a2(或e2-1).
2.A　设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∠PF1F2=θ,则tan θ=2,因为∠F1PF2为直角,所以PF2|PF1|=2,设|PF1|=m,则|PF2|=2m,在Rt△F1PF2中,由勾股定理得|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,即(2m)2+m2=(2c)2,所以m=255c,所以|PF1|=255c,|PF2|=455c.过点P作PM⊥x轴于点M,如图,

则|PM|=PF1|·|PF2||F1F2|=45c,
在Rt△PMF1中,|F1M|=PF1|2−|PM|2=25c,所以|OM|=|OF1|-|F1M|=35c,
所以点P的坐标为−35c,45c,将−35c,45c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1,得925c2a2+1625c2b2=1,
又b2=a2-c2,故可整理得9c4-50a2c2+25a4=0,方程两边同时除以a4,得9e4-50e2+25=0,
解得e2=5或e2=59,因为e∈(0,1),所以e=53.
故选A.
名师点睛　求椭圆的离心率,有三种常见的方法:一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
3.CD　由椭圆的性质可知,△PF1F2的面积满足S△PF1F2≤12×2c×b,又存在以22c为半径的圆内切于△PF1F2,
∴S△PF1F2=12×(2a+2c)×22c≤12×2c×b,∴a+c≤2b,
∴(a+c)2≤2b2=2(a2-c2),∴3c2+2ac-a2≤0,∴3e2+2e-1≤0,∴-1≤e≤13.又0 结合选项可知选CD.
4.B　设M是PF2的中点,连接IM,如图,则IP+IF2=2IM,又3IF1+2IF2=2PI,故3IF1+2IF2+2IP=3IF1+4IM=0,∴F1,I,M三点共线,且3IF1=4MI,∴|F1I|IM|=43.易知F1M平分∠PF1F2,又F1M是PF2边上的中线,故F1M⊥PF2,|PF1|=|F1F2|=2c,∴|PF2|=2a-2c,|MF2|=a-c.作IN⊥x轴于点N,则Rt△F1IN∽Rt△F1F2M,且|IN|=|IM|,
∴|F1I|IN|=|F1I|IM|=|F1F2|MF2|=43=2ca−c,
∴4a=10c,∴e=ca=25.

5.答案　0,73
解析　设椭圆的左焦点为E,则|BE|+|BF|=2a,
因为A,B关于原点对称,所以四边形EBFA为平行四边形,由|FA|=2|FB|,得|BE|=2|FB|,
所以|BE|=43a,|BF|=23a.
在△EBF中,cos∠EBF=|BE|2+|BF|2−|EF|22|BE|·|BF|=169a2+49a2−4c22×43a×23a=54−94e2,
易知∠BFA=π-∠EBF,故cos∠BFA=cos(π-∠EBF)=-cos∠EBF=94e2−54,
由FA·FB≤49a2得|FA||FB|cos∠BFA=43a×23a×94e2−54≤49a2,整理得e2≤79,
又0 6.ABD　由题可得m=a−c−R,n=a+c−R,(*)
∴a-c=m+R,a+c=n+R,故A,B正确;
(*)中两式相加,得m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确;
由(*)可得m+R=a−c,n+R=a+c,两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2,∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R),即b=(m+R)(n+R),故D正确.
故选ABD.
7.解析　如图,连接AC,BC,PC,设PC与AB交于H,则H为AB的中点.
圆(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径r=1.
易知AC⊥PA,BC⊥PB,且|PA|=|PB|=|PC|2−1,
所以|AB|=2|AH|=2|PA|·|AC||PC|=2|PC|2−1|PC|=21−1|PC|2.
设P(4cos θ,22sin θ),θ∈[0,2π],
则|PC|2=(4cos θ-1)2+(22sinθ)2=16cos2θ−8cos θ+1+8sin2θ=8cosθ−122+7,
当cos θ=12时,|PC|2取得最小值7,
所以|AB|的最小值为21−17=2427.