中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习09（含答案）

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中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习091.如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．        2.如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．(1)∠E＝     度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦DE的长．       3.如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．(1)求证：BD平分∠PBC；(2)若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求OE及AB的长．      4.如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若PC＝3，PF＝1，求AB的长．      5.如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,过O点作EC⊥OD，EC交BC于C,交直线AD于E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP.（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线.         7.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：EF是⊙0的切线.(2)如果⊙0的半径为5，sin∠ADE＝，求BF的长.      8.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF∶OB=1∶3，⊙O的半径为3，求BD:AD的值．            
0.中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习09（含答案）参考答案  一         、解答题1. (1)证明：连接OC，∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB=CD，∵OA=OB，∴CD=OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圆的切线；(2)解：∠AED+∠ACD=90°，理由：如图2，连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBA+∠BAE=90°，∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠ABE+∠DAE，∵∠ACE=∠ABE，∴∠ACE=∠DAE，∵∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=∠AED+∠ACD=90°．    2.解：(1)∵∠ACD＝45°，∠ACD＝∠E，∴∠E＝45°．(2)△ACP∽△DEP，理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，∴△ACP∽△DEP．(3)∵△ACP∽△DEP，∴AP：DP=AC：DE．∵P为CD边中点，∴DP＝CP＝1，∵AP＝，AC＝2，∴DE＝． 3.证明：(1)连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO＝90°，∴∠PBD＋∠OBD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＋∠BDE＝90°，∴∠PBD＝∠EBD，∴BD平分∠PBC．(2)作DK⊥PB于K，∵∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK＝DE，∴＝＝，∵∠OBE＋∠PBE＝90°，∠PBE＋∠P＝90°，∴∠OBE＝∠P，∵∠OEB＝∠BEP＝90°，∴△BEO∽△PEB，∴＝，∴＝＝，∵BO＝1，∴OE＝，∵OE⊥BC，∴BE＝EC，∵AO＝OC，∴AB＝2OE＝． 4.证明：(1)如图，连接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠ECP＝∠AED，又∵∠EAD＝∠ACO，∴∠PCO＝∠ECP＋∠ACO＝∠AED＋∠EAD＝90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切线．(2)延长PO交圆于G点，∵PF×PG＝PC2，PC＝3，PF＝1，∴PG＝9，∴FG＝9﹣1＝8，∴AB＝FG＝8． 5.【解答】（1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，∵BC、AD是⊙O的切线，∴∠CBO=∠OAE=90°，在△BOC和△AOE中，，∴△BOC≌△AOE（ASA），∴OC=OE，又∵EC⊥OD，∴DE=DC，∴∠ODC=∠ODE，∴OH=OA，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，∴∠E=∠DOA，又∵∠OAE=∠ODA=90°，∴△AOE∽△ADO，∴=，∴OA2=EA•AD=1×3=3，∵OA＞0，∴OA=，∴tanE==，∴∠DOA=∠E=60°，∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，∴∠DOH=∠DOA=60°，∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π． 6.解：（1）BD=DC.理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE.∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线； 7.证明：(1)连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；(2)解：∵∠DAC＝∠DAB，∴∠ADE＝∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE＝sin∠ABD＝，而AB＝10，∴AD＝8，在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，∴AE＝6.4，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴＝，∴BF＝. 8.解：(1)连接OD，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO=90°，而OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线 (2)∵OF∶OB=1∶3，∴OF=1，BF=2，设BE=x，则DE=EF=x＋2，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，而∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，又∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴==，即==，∴x=2，∴=