鲁教版 (五四制)七年级下册2 等腰三角形学案设计

鲁教版（五四制）数学七年级下册导学案

10.2  等腰三角形

知 识 梳 理

知识点1  等腰三角形的性质

等腰三角形的____________相等（简称:等边对等角）。

符号语言:

∵AB＝AC，∴_______________。

注意  说明一个三角形是等腰三角形一定要指出相等的两边，如在等腰三角形ABC中，AB＝AC。

知识点2  等腰三角形的推论

等腰三角形_________的平分线、_________的中线、________的高互相重合。

符号语言:如图所示，

（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC，_____________。

（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，______________。

（3）∵AB＝AC，______________，∴∠1＝∠2，BD＝CD。

注意  此推论也称为“三线合一定理”，在应用时，需注意必须是等腰三角形已知为前提。

知识点3  等边三角形的性质

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于____________。

符号语言:如图所示，

∵AB＝AC＝BC，

∴________＝________＝_________＝_________。

知识点4  等腰三角形的判定定理

___________________________________是等腰三角形（简称等角对等边）。

符号语言:如图所示，

∵_____________________，∴AB＝AC。

知识点5  等边三角形的判定

1.有_______________等腰三角形是等边三角形.

符号语言:如图所示，

∵AB＝AC，∠B＝60°，（∠A＝60°或∠C＝60°）

∴△ABC是等边三角形

2.___________________三角形是等边三角形。

符号语言:∵∠A＝∠B＝∠C，

∴△ABC是等边三角形。

知识点6  直角三角形性质定理

在直角三角形中，如果____________，那么它所对的直角边等于_______________。

符号语言:如图所示，

在Rt△ABC中，

∵∠A＝30°，∴BC＝AB。

知识点7  反证法

1.定义:先假设命题的_____________________，然后推导出与_________________相矛盾的结果，从而证明______________________。这种证明方法叫做_______________。

2.证明步骤:

（1）反设:假设结论的反面成立；

（2）归谬:从假设出发，通过推理得出矛盾；

（3）结论:由矛盾判断假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。

考 点 突 破

考点1:  与等腰三角形性质有关的证明

典例1  如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B的度数。

思路导析:把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程的思想解决，列方程的依据是三角形内角和定理。

解:∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。同理:∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA。

设∠B＝a，则∠C＝a，∠BAD＝a，∴∠CDA＝2a，∠CAD＝2a。

在△ADC中，∵∠C＋∠CAD＋∠CDA＝180°，∴a＋2a＋2a＝180°

∴a＝36º，即∠B＝36°。

变式1  等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为____________。

变式2  如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（    ）

A.5       B.6        C.8       D.10

典例2  如图所示，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F为CD的中点。求证:AF⊥CD。

思路导析:连接AC，AD。要证AF⊥CD，已有F为CD中点，由等腰三角形三线合一定理可知，必须要证AC＝AD。而这可由证△ABC≌△AED证得。

证明:连接AC，AD。

 在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）。

∴AC＝AD（全等三角形对应边相等），∵F是CD的中点，

∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。

友情提示  等腰三角形三线合一定理是证明垂直、两线段相等、两角相等的重要方法，要能灵活运用。变式3  如图所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证:BD＝CE。

考点2:  反证法

典例3  在一个三角形中，若两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等。

已知:如图所示，在△ABC中，AB≠AC。求证:∠B≠∠C。

思路导析:  本题是一道否定性命题直接证明难以下手、不妨反证法证明。

证明:  假设∠B＝∠C，那么AB＝AC，与已知AB≠AC矛盾，故假设错误即原命题结论∠B≠∠C成立。

友情提示  遇到否定惊命题、唯一性命题、必然性命题和一些基本定理的证明，可运用反证法来证明。变式4  用反证法证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。应假设这个三角形的三个内角都_____________。

变式5  用反证法证明:一个三角形中至多有一个直角、应假设这个三角形中__________________。

巩 固 提 高

1.等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是（    ）

A.80°      B.20°        C.80°或20°       D.80°且20°

2.若实数m，n满足等式＋＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（    ）

A.12         B.10         C.8                 D.6

3.如图所示，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为底边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（     ）

A.40°       B.140°      C.70°或80°       D.80°

4.如图所示，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（     ）

A.20°       B.35°        C.40°           D.70°

5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（     ）

   A.BC＝EC      B.EC＝BE     

C.BC＝BE       D.AE＝EC

6.若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于____________。

7.如图所示，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝___________。

8.如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长是__________。

9.如图所示，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__________。

10.如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处若AE＝，则BC的长是__________。

11.如图所示，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC。求证:△BDE是等腰三角形。

真 题 训 练

1.（2018·福建）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，

∠EBC＝45°，则∠ACE等于（     ）

A.15°          B.30°     

C.45º           D.60°

2.（2018·吉林）我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k若k＝，则该等腰三角形的顶角为_________度。

3.（北京中考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D。

求证:AD＝BC。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1:  两个底角     ∠B＝∠C

知识点2:  顶角    底边上     底边上

（1）BD＝CD   （2）∠1＝∠2   （3）AD⊥BC

知识点3:   60°  ∠A    ∠B    ∠C    60°

知识点4:  有两个角相等的三角形     ∠B＝∠C

知识点5:  1.一个角等于60°的      2.三个角都相等的

知识点6:  一个锐角等于30°     斜边的一半

知识点7:  1.结论不成立   定义、基本事实已有定理或已知条件   命题的结论一定成立   反证法

考点突破

1.80°    2.C

3.提示:证明△ABD≌△ACE或过点A作BC的垂线。

4.大于60°

5.至少有两个直角

巩固提高

1.C    2.B     3.D     4.B    5.C    6.65°    7.30°    8.2     9.52°    10.

11.证明:如图所示，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，

∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3。

∵AD⊥BD，∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90º，∴∠B＝∠BDE。

∴△BDE是等腰三角形。

真题训练

1.A    2.36

3.证明:∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°。

∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°。

∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD。∵∠C＝72°，∴∠BDC＝72°。

∴∠C＝∠BDC，∴BC＝BD。∴AD＝BC。