第三课时　单调性与最值

课标要求　1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.

2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.

素养要求　借助y＝sin x与y＝cos x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

自 主 梳 理

正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(×)

提示　正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.

(2)存在实数x，使得cos x＝.(×)

提示　余弦函数最大值为1.

(3)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.(√)

2.函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________.

答案　－＋2kπ(k∈Z)

解析　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3.

3.函数f(x)＝cos的单调递减区间是________.

答案　(k∈Z)

解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

即f(x)的单调递减区间是

(k∈Z).

4.sin 250°与sin 260°的大小关系为________.

答案　sin 250°>sin 260°

解析　∵sin 250°＝sin (180°＋70°)＝－sin 70°，

sin 260°＝sin (180°＋80°)＝－sin 80°，

而sin 70°<sin 80°，∴－sin 70°>－sin 80°.∴sin 250°>sin 260°.

题型一　正弦、余弦函数的单调性

例1 求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间.

解　y＝1＋sin＝－sin＋1.

由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z).

解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z).

又∵x∈[－4π，4π]，

∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为，，.

思维升华　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.

训练1 求函数f(x)＝2cos的单调递增区间.

解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

题型二　利用正弦、余弦函数的单调性比较大小

例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.

(1)sin 与cos ；

(2)cos与cos.

解　(1)sin ＝sin＝－sin ，

cos ＝cos＝－cos ＝－sin ，

∵0<<<，

且y＝sin x在上是增函数，

∴sin <sin ；

从而－sin >－sin ，

即sin >cos .

(2)cos＝cos π＝cos＝cos π，

cos＝cos π＝cos＝cos .

∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，

∴cos π<cos ，

即cos<cos.

思维升华　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.

训练2 比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；

(2)cos 与sin .

解　(1)sin＝sin＝sin，

sin＝sin＝sin ，

∵y＝sin x在上是增函数，

∴sin<sin ，

即sin<sin π.

(2)cos ＝cos＝cos ，

sin ＝sin＝sin ＝sin＝cos ，

∵0<<<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，

∴cos >cos ，即cos >sin .

题型三　正弦、余弦函数的最值(值域)问题

角度1　正弦、余弦函数的最值(值域)问题

例3 求y＝cos，x∈的值域.

解　由y＝cos，x∈可得x＋∈，

因为函数y＝cos x在区间上单调递减，

cos ＝，cos ＝－，所以函数的值域为.

角度2　形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C型的最值(值域)问题

例4 求y＝cos2x－4cos x＋5的值域.

解　y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，

则－1≤t≤1.

y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，

当t＝－1，函数取得最大值10；

t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10].

思维升华　求三角函数值域或最值的常用方法

(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).

(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.

训练3 若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝

－4acos bx的最值和最小正周期.

解　∵y＝a－bcos x(b>0)，

∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.

由解得

∴y＝－4acos bx＝－2cos x，

所以函数y＝－4acos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.

[课堂小结]

1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法

把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.

2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.

3.求三角函数值域或最值的常用方法：

将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.

一、基础达标

1.函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z) B.(k∈Z)

C.(k∈Z) D.(k∈Z)

答案　B

解析　令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

则y＝sin 2x的单调递减区间是

(k∈Z).

2.函数f(x)＝sin在区间上的最小值是(　　)

A.－1  B.－ 

C.   D.0

答案　B

解析　∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，

∴f(x)min＝－.

3.函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是(　　)

A.2，－2   B.2，－

C.2，－   D.，－2

答案　B

解析　f(x)＝－2sin2x＋2cos x＝－2×(1－cos2x)＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－2＝2×＝2－，

∵－1≤cos x≤1，

∴f(x)min＝－，f(x)max＝2.故选B.

4.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A.0≤ω≤   B.0≤ω≤

C.≤ω≤3   D.≤ω≤3

答案　D

解析　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z，

则＋≤x≤＋，k∈Z.

∵函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，

∴≤且≥，∴≤ω≤3.

5.(多选)不同时具有以下3个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在上为增函数的函数是(　　)

A.y＝sin   B.y＝sin

C.y＝cos   D.y＝sin

答案　ACD

解析　函数y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，不满足①，A符合题意；

函数y＝sin的最小正周期为T＝＝π，满足①，

当x＝时，y＝sin＝1，取得最大值，所以x＝是y＝sin的一条对称轴，满足②，

又x∈时，2x－∈，

所以y＝sin在上单调递增，满足③，B不符合题意；

函数y＝cos在x∈，即2x＋∈[0，π]时单调递减，不满足③，C符合题意；

对于y＝sin，当x＝时，y＝sin＝，不是最值，所以直线x＝不是y＝sin的一条对称轴，不满足②，D符合题意.故选ACD.

6.函数y＝sin取最大值时自变量的取值集合是________.

答案　

解析　当－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值.

7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________.

答案　sin 3<sin 1<sin 2

解析　∵1<<2<3<π，

sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.

y＝sin x在上是增函数，

且0<π－3<1<π－2<，

∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，

即sin 3<sin 1<sin 2.

8.若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.

答案　

解析　∵x∈，

即0≤x≤，且0<ω<1，

∴0≤ωx≤<.

∵f(x)max＝2sin＝，

∴sin＝，＝，

即ω＝.

9.求下列函数的单调递增区间.

(1)y＝1－sin ；(2)y＝logsin.

解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，

得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.

∴y＝1－sin的单调递增区间为

[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z).

(2)要求函数y＝logsin的单调递增区间，

即求使y＝sin>0且单调递减的区间.

∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z，

整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝logsin的单调递增区间为，k∈Z.

10.求下列函数的最大值和最小值.

(1)f(x)＝sin，x∈；

(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.

解　(1)当x∈时，

2x－∈，由函数图象知，

f(x)＝sin∈＝.

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.

(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3

＝2sin2x＋2sin x＋1＝2＋.

因为x∈，所以≤sin x≤1.

当sin x＝1时，ymax＝5；

当sin x＝时，ymin＝.

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.

二、能力提升

11.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是(　　)

A.   B.－ 

C.  D.

答案　D

解析　由题意，当x＝时，

f(x)＝sin＝±1，

故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

解得φ＝kπ＋(k∈Z).

当k＝0时，φ＝，故φ可能是.

12.(多选)已知函数f(x)＝

(x∈R)，关于函数f(x)的性质，下列判断不正确的是(　　)

A.函数f(x)是周期函数，最小正周期为2π

B.函数f(x)的值域为[－1，1]

C.函数f(x)在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增

D.函数f(x)的图象存在对称中心

答案　BCD

解析　分别作出函数y＝sin x和y＝cos x的图象，可得函数f(x)＝

的图象是两个图象中在上方的曲线(如图中实线所示)，可得f(x)为周期函数，最小正周期为2π，故A正确；

f(x)的值域为，故B错误；

f(x)在(k∈Z)上单调递减，在(k∈Z)上单调递增，故C错误；

f(x)的图象关于直线x＝kπ＋，k∈Z对称，无对称中心，故D错误.故选BCD.

13.已知函数f(x)＝cos，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

解　(1)因为f(x)＝cos，x∈R，所以函数f(x)的最小正周期为

T＝＝π.

由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

(2)因为x∈，

所以2x－∈.

所以当2x－＝0，

即x＝时，f(x)max＝f＝；

当2x－＝，

即x＝时，f(x)min＝f＝－1.

所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；

最小值为－1，此时x＝.

三、创新拓展

14.若函数f(x)＝3sin ωx(ω>0)能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在上是单调函数，则整数ω的值是(　　)

A.4   B.5 

C.6   D.7

答案　B

解析　函数“在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3”，即至少为两个周期，由此得到2T≤3，即T≤.

由于函数是奇函数，所以图象关于原点对称.

因为函数在上是单调函数，

所以函数在上是单调函数，

故≥×2，即T≥.

由得

解得≤ω≤5.

由于ω为整数，故ω＝5，所以选B.