高中数学3.2 函数的基本性质第一课时同步达标检测题

课时跟踪检测(十八)　函数的单调性

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上(　　)

A．单调递减　　　　　　 B．单调递增

C．先减后增  D．先增后减

解析：选C　作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，

易知f(x)在[－3，0]上先减后增．

2．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上(　　)

A．单调递增

B．单调递减

C．先单调递减再单调递增

D．先单调递增再单调递减

解析：选B　若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则或即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上单调递减．

3．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)

解析：选B　对于A，函数分别在(－∞，1)和[1，＋∞)上单调递增，但存在x1∈(0，1)，使f(x1)>f(1)，故A不符合题意；对于C，函数分别在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增，但存在x1>1，使f(x1)<f(1)，故C不符合题意；对于D，函数分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但存在x1＝－1，x2＝1，使f(x1)<f(x2)，故D不符合题意；只有B符合题意，故选B.

4．(多选)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　)

A．函数f(x)在R上不具有单调性

B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减

C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1

D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是

解析：选BD　当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0<a≤，所以a的取值范围是，D正确．

5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　)

A．f(1)<c<f(－2)  B．c<f(－2)<f(1)

C．c>f(1)>f(－2)  D．f(1)>c>f(－2)

解析：选D　二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)．

6．函数f(x)＝的单调递增区间为________．

解析：画出函数图象如图所示，由图象可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

答案：(－∞，＋∞)

7．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)＝＝＝a＋，

依题意有1－2a<0，即a>.

答案：

8．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是______________．

解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝

答案：f(x)＝(答案不唯一)

9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．

解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：

设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，

由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，

又由x1<x2，得x1－x2<0，

于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．

10.已知函数f(x)的图象如图所示．

(1)根据函数的图象，写出f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在[a－1，a＋1]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)由函数图象得f(x)在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增；f(x)在(－1，2)上单调递减．

(2)因为f(x)在[a－1，a＋1]上单调递增，所以a＋1≤－1或a－1≥2，解得a≤－2或a≥3.

故实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．

[B级　综合运用]

11．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－3，－1)

C．(0，1)  D．(1，3)

解析：选BC　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，

图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，

所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，

所以－3<x<3.

又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1

＝

且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，

所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1)．故选B、C.

12．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)

B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)

C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)

D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)

解析：选A　∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选A.

13．若函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(1，4)上不是单调函数，那么实数a的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(1，4)上不是单调函数，函数图象的对称轴为直线x＝a－1，所以1<a－1<4，所以2<a<5.

答案：(2，5)

14．已知函数f(x)＝.

(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；

(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1，x2是区间(－2，＋∞)上任意两个实数，且x2<x1，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2>－2，

所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，

所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．

(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，

解得1<m<，

所以m的取值范围为(1，)．

[C级　拓展探究]

15．设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x)．问是否存在实数λ，使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在满足条件的实数λ，则由f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，得g(x)＝(x2＋1)2＋1，

∴F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ.

令t＝x2，则t＝x2在(－∞，0)上单调递减，且当x∈时，t>；当x∈时，0<t<.

故若F(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在上单调递增，在上单调递减，∴函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ的图象的对称轴t＝为直线t＝，即＝，则λ＝3.

故存在满足条件的实数λ(λ＝3)，使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增．